Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x[n]n−10−1112334h[n]n−10−3112234

Les suites x[n] = {−1, 1, 3} et h[n] = {−3, 1, 2} commencent toutes deux en n = 0. Trouvez l’échantillon y[1] de la convolution y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {−1, 1, 3}, n = 0…2h[n] = {−3, 1, 2}, n = 0…2
y[1] =
2.Facile
x[n]n−10−1142234h[n]n−10−113234

Les suites x[n] = {−1, 4, 2} et h[n] = {−1, 3} commencent toutes deux en n = 0. Trouvez le plus grand échantillon ymax de y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {−1, 4, 2}, n = 0…2h[n] = {−1, 3}, n = 0…1
ymax =
3.Moyen
x(t)t10h(t)t0,51

Un système a pour réponse impulsionnelle h(t) = e−2tu(t). L’entrée est un échelon x(t) = 10·u(t). Trouvez la sortie y(0,1) à t = 0,1 s.

h(t) = e−2tu(t)x(t) = 10·u(t)t = 0,1 s
y(0.1) =
4.Moyen
x(t)t45h(t)t21

L’impulsion x(t) = 5 pour 0 ≤ t < 4 s est convoluée avec h(t), un triangle qui décroît linéairement de 1 à t = 0 jusqu’à 0 à t = 2 s. Trouvez l’aire Ay sous y(t) = x(t) ∗ h(t).

x(t) = 5, 0 ≤ t < 4 sh(0) = 1, h(2) = 0
Ay =
5.Difficile
δ[n]4+h[n]0,9·z⁻¹+

Un système obéit à y[n] = 0,9·y[n − 1] + 4·x[n] et part du repos. Trouvez l’échantillon h[4] de sa réponse impulsionnelle.

y[n] = 0,9y[n − 1] + 4x[n]x[n] = δ[n]
h[4] =
6.Difficile
u[n]0,5+y[n]0,5·z⁻¹+

Un système obéit à y[n] = 0,5·y[n − 1] + 0,5·x[n] et part du repos. L’entrée est l’échelon unité x[n] = u[n]. Trouvez y[3].

y[n] = 0,5y[n − 1] + 0,5x[n]x[n] = u[n]
y[3] =

Corrigé

  1. 1. y[1] = −4
  2. 2. ymax = 10
  3. 3. y(0.1) = 0,9063
  4. 4. Ay = 20
  5. 5. h[4] = 2,624
  6. 6. y[3] = 0,9375

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