Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x[n]n−10−3122234h[n]n−10−11−3234

Les suites x[n] = {−3, 2, 2} et h[n] = {−1, −3} commencent toutes deux en n = 0. Trouvez l’échantillon y[2] de la convolution y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {−3, 2, 2}, n = 0…2h[n] = {−1, −3}, n = 0…1
y[2] =
2.Facile
x[n]n−10123334−25h[n]n−10142−33

La suite x[n] est non nulle pour n = 2…4 et h[n] pour n = 1…2, comme indiqué. Trouvez le dernier indice nlast pour lequel y[n] = x[n] ∗ h[n] peut être non nul.

x[n]: n = 2…4h[n]: n = 1…2
nlast =
3.Moyen
x(t)t21h(t)t41

L’impulsion x(t) = 1 pour 0 ≤ t < 2 s (nulle ailleurs) est appliquée à un système de réponse impulsionnelle h(t) = 1 pour 0 ≤ t < 4 s (nulle ailleurs). Trouvez la sortie y(4,5) à t = 4,5 s.

x(t) = 1, 0 ≤ t < 2 sh(t) = 1, 0 ≤ t < 4 st = 4,5 s
y(4.5) =
4.Moyen
x(t)t34h(t)t42

L’impulsion x(t) = 4 pour 0 ≤ t < 3 s (nulle ailleurs) est appliquée à un système de réponse impulsionnelle h(t) = 2 pour 0 ≤ t < 4 s (nulle ailleurs). Trouvez la sortie y(3,5) à t = 3,5 s.

x(t) = 4, 0 ≤ t < 3 sh(t) = 2, 0 ≤ t < 4 st = 3,5 s
y(3.5) =
5.Difficile
x(t)t (ms)0,5124

Un signal carré commute entre 4 et 0 avec la période T = 1 ms (une demi-période à chaque niveau). Trouvez l’amplitude c1 de sa composante de Fourier à 1000 Hz.

0 … 4T = 1 msf = 1000 Hz
c1 =
6.Difficile
5cos(5t)h(t) = 10e−5t​u(t)y(t)

L’entrée x(t) = 5·cos(5t) est appliquée à un système de réponse h(t) = 10·e−5tu(t). Trouvez la phase φ de la sortie en régime permanent par rapport à l’entrée, en degrés.

h(t) = 10e−5tu(t)x(t) = 5cos(5t)
φ = °

Corrigé

  1. 1. y[2] = −8
  2. 2. nlast = 6
  3. 3. y(4.5) = 1,5
  4. 4. y(3.5) = 24
  5. 5. c1 = 2,546
  6. 6. φ = −45 °

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