Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x[n]n−10−1112134h[n]n−10−3122−334

On effectue la convolution des suites x[n] = {−1, 1, 1} et h[n] = {−3, 2, −3}. Trouvez la somme Σy[n] de tous les échantillons de y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {−1, 1, 1}, n = 0…2h[n] = {−3, 2, −3}
Σy[n] =
2.Facile
x[n]n−1041−12234h[n]n−10213234

Les suites x[n] = {4, −1, 2} et h[n] = {2, 3} commencent toutes deux en n = 0. Trouvez le plus grand échantillon ymax de y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {4, −1, 2}, n = 0…2h[n] = {2, 3}, n = 0…1
ymax =
3.Moyen
x(t)t1h(t)t1

L’entrée x(t) = 1·e−1tu(t) est appliquée à un système de réponse h(t) = e−5tu(t). Trouvez la sortie y(0,25) à t = 0,25 s.

x(t) = 1·e−1tu(t)h(t) = e−5tu(t)t = 0,25 s
y(0.25) =
4.Moyen
x(t)t−2−1h(t)t26

Le signal x(t) n’est non nul qu’entre t = −2 s et t = −1 s, et h(t) qu’entre t = 2 s et t = 6 s. Trouvez l’instant tend où y(t) = x(t) ∗ h(t) se termine.

x: −2 … −1 sh: 2 … 6 s
tend = s
5.Difficile
u[n]3+y[n]0,8·z⁻¹+

Un système obéit à y[n] = 0,8·y[n − 1] + 3·x[n] et part du repos. L’entrée est l’échelon unité x[n] = u[n]. Trouvez y[4].

y[n] = 0,8y[n − 1] + 3x[n]x[n] = u[n]
y[4] =
6.Difficile
δ(t)y′ + 10y = 3xh(t)

Un système obéit à y′(t) + 10·y(t) = 3·x(t). Trouvez sa réponse impulsionnelle à t = 0,1 s, h(0,1).

y′ + 10y = 3xt = 0,1 s
h(0.1) =

Corrigé

  1. 1. Σy[n] = −4
  2. 2. ymax = 10
  3. 3. y(0.25) = 0,1231
  4. 4. tend = 5 s
  5. 5. y[4] = 10,08
  6. 6. h(0.1) = 1,104

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