Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x[n]n−10−1142−13145h[n]n−100,510,520,2534

Un filtre RIF calcule y[n] = 0,5·x[n] + 0,5·x[n − 1] + 0,25·x[n − 2]. L’entrée est x[n] = {−1, 4, −1, 1} pour n = 0…3 et nulle ailleurs. Trouvez la sortie y[3].

b = {0,5, 0,5, 0,25}x[n] = {−1, 4, −1, 1}, n = 0…3
y[3] =
2.Facile
x[n]n−10111223445h[n]n−10210,52−0,534

Un filtre RIF calcule y[n] = 2·x[n] + 0,5·x[n − 1] − 0,5·x[n − 2]. L’entrée est x[n] = {1, 1, 2, 4} pour n = 0…3 et nulle ailleurs. Trouvez la sortie y[4].

b = {2, 0,5, −0,5}x[n] = {1, 1, 2, 4}, n = 0…3
y[4] =
3.Moyen
x(t)t10h(t)t0,251

Un système a pour réponse impulsionnelle h(t) = e−4tu(t). L’entrée est un échelon x(t) = 10·u(t). Trouvez la sortie y(0,5) à t = 0,5 s.

h(t) = e−4tu(t)x(t) = 10·u(t)t = 0,5 s
y(0.5) =
4.Moyen
x(t)t−12h(t)t−11

Le signal x(t) n’est non nul qu’entre t = −1 s et t = 2 s, et h(t) qu’entre t = −1 s et t = 1 s. Trouvez l’instant tstart où y(t) = x(t) ∗ h(t) commence.

x: −1 … 2 sh: −1 … 1 s
tstart = s
5.Difficile
5cos(2t)h(t) = 5e−2t​u(t)y(t)

L’entrée x(t) = 5·cos(2t) est appliquée à un système de réponse h(t) = 5·e−2tu(t). Trouvez la phase φ de la sortie en régime permanent par rapport à l’entrée, en degrés.

h(t) = 5e−2tu(t)x(t) = 5cos(2t)
φ = °
6.Difficile
δ[n]0,5+h[n]0,9·z⁻¹+

Un système obéit à y[n] = 0,9·y[n − 1] + 0,5·x[n] et part du repos. Trouvez l’échantillon h[3] de sa réponse impulsionnelle.

y[n] = 0,9y[n − 1] + 0,5x[n]x[n] = δ[n]
h[3] =

Corrigé

  1. 1. y[3] = 1
  2. 2. y[4] = 1
  3. 3. y(0.5) = 2,162
  4. 4. tstart = −2 s
  5. 5. φ = −45 °
  6. 6. h[3] = 0,3645

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