Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x[n]n−3−24−14011h[n]n−2−1−10−2122

La suite x[n] est non nulle pour n = -2…0 et h[n] pour n = -1…1, comme indiqué. Trouvez le dernier indice nlast pour lequel y[n] = x[n] ∗ h[n] peut être non nul.

x[n]: n = -2…0h[n]: n = -1…1
nlast =
2.Facile
x[n]n−10112223−34h[n]n−10−31−12134

On effectue la convolution des suites x[n] = {1, 2, 2, −3} et h[n] = {−3, −1, 1}. Trouvez la somme Σy[n] de tous les échantillons de y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {1, 2, 2, −3}, n = 0…3h[n] = {−3, −1, 1}
Σy[n] =
3.Moyen
x(t)t13h(t)t25

L’impulsion x(t) = 3 pour 0 ≤ t < 1 s (nulle ailleurs) est appliquée à un système de réponse impulsionnelle h(t) = 5 pour 0 ≤ t < 2 s (nulle ailleurs). Trouvez la sortie y(2,5) à t = 2,5 s.

x(t) = 3, 0 ≤ t < 1 sh(t) = 5, 0 ≤ t < 2 st = 2,5 s
y(2.5) =
4.Moyen
x(t)t4h(t)t0,251

Un système a pour réponse impulsionnelle h(t) = e−4tu(t). L’entrée est un échelon x(t) = 4·u(t). Trouvez la sortie y(0,125) à t = 0,125 s.

h(t) = e−4tu(t)x(t) = 4·u(t)t = 0,125 s
y(0.125) =
5.Difficile
x(t)t (ms)2,551010−10

Un signal carré commute entre +10 et −10 avec la période T = 5 ms (une demi-période à chaque niveau). Trouvez l’amplitude c1 de sa composante de Fourier à 200 Hz.

±10T = 5 msf = 200 Hz
c1 =
6.Difficile
u[n]4+y[n]0,9·z⁻¹+

Un système obéit à y[n] = 0,9·y[n − 1] + 4·x[n] et part du repos. L’entrée est l’échelon unité x[n] = u[n]. Trouvez y[2].

y[n] = 0,9y[n − 1] + 4x[n]x[n] = u[n]
y[2] =

Corrigé

  1. 1. nlast = 1
  2. 2. Σy[n] = −6
  3. 3. y(2.5) = 7,5
  4. 4. y(0.125) = 0,3935
  5. 5. c1 = 12,73
  6. 6. y[2] = 10,84

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