Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x[n]n−10−1112−23145h[n]n−100,510,52134

Un filtre RIF calcule y[n] = 0,5·x[n] + 0,5·x[n − 1] + x[n − 2]. L’entrée est x[n] = {−1, 1, −2, 1} pour n = 0…3 et nulle ailleurs. Trouvez la sortie y[4].

b = {0,5, 0,5, 1}x[n] = {−1, 1, −2, 1}, n = 0…3
y[4] =
2.Facile
x[n]n−10−21−12−1314h[n]n−10−312234

Les suites x[n] = {−2, −1, −1, 1} et h[n] = {−3, 2} commencent toutes deux en n = 0. Trouvez l’échantillon y[3] de la convolution y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {−2, −1, −1, 1}, n = 0…3h[n] = {−3, 2}, n = 0…1
y[3] =
3.Moyen
x(t)t0,51h(t)t1

L’impulsion x(t) = 1 pour 0 ≤ t < 0.5 s (nulle ailleurs) est appliquée à un système de réponse h(t) = e−1tu(t). Trouvez la sortie y(1,5) à t = 1,5 s, une fois l’impulsion terminée.

x(t) = 1, 0 ≤ t < 0.5 sh(t) = e−1tu(t)t = 1,5 s
y(1.5) =
4.Moyen
x(t)t1h(t)t0,251

Un système a pour réponse impulsionnelle h(t) = e−4tu(t). L’entrée est un échelon x(t) = 1·u(t). Trouvez la sortie y(1,5) à t = 1,5 s.

h(t) = e−4tu(t)x(t) = 1·u(t)t = 1,5 s
y(1.5) =
5.Difficile
2cos(5t)h(t) = 2e−5t​u(t)y(t)

L’entrée x(t) = 2·cos(5t) est appliquée à un système de réponse h(t) = 2·e−5tu(t). Trouvez la phase φ de la sortie en régime permanent par rapport à l’entrée, en degrés.

h(t) = 2e−5tu(t)x(t) = 2cos(5t)
φ = °
6.Difficile
δ[n]0,5+h[n]0,9·z⁻¹+

Un système obéit à y[n] = 0,9·y[n − 1] + 0,5·x[n] et part du repos. Trouvez l’échantillon h[5] de sa réponse impulsionnelle.

y[n] = 0,9y[n − 1] + 0,5x[n]x[n] = δ[n]
h[5] =

Corrigé

  1. 1. y[4] = −1,5
  2. 2. y[3] = −5
  3. 3. y(1.5) = 0,1447
  4. 4. y(1.5) = 0,2494
  5. 5. φ = −45 °
  6. 6. h[5] = 0,2952

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