Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x[n]n−1031−2213−145h[n]n−1021−12134

Un filtre RIF calcule y[n] = 2·x[n] − x[n − 1] + x[n − 2]. L’entrée est x[n] = {3, −2, 1, −1} pour n = 0…3 et nulle ailleurs. Trouvez la sortie y[1].

b = {2, −1, 1}x[n] = {3, −2, 1, −1}, n = 0…3
y[1] =
2.Facile
x[n]n−1011−1233245h[n]n−1021−12134

Un filtre RIF calcule y[n] = 2·x[n] − x[n − 1] + x[n − 2]. L’entrée est x[n] = {1, −1, 3, 2} pour n = 0…3 et nulle ailleurs. Trouvez la sortie y[4].

b = {2, −1, 1}x[n] = {1, −1, 3, 2}, n = 0…3
y[4] =
3.Moyen
x(t)t21h(t)t23

L’impulsion x(t) = 1 pour 0 ≤ t < 2 s est convoluée avec h(t), un triangle qui décroît linéairement de 3 à t = 0 jusqu’à 0 à t = 2 s. Trouvez l’aire Ay sous y(t) = x(t) ∗ h(t).

x(t) = 1, 0 ≤ t < 2 sh(0) = 3, h(2) = 0
Ay =
4.Moyen
x(t)t5h(t)t0,251

Un système a pour réponse impulsionnelle h(t) = e−4tu(t). L’entrée est un échelon x(t) = 5·u(t). Trouvez la sortie y(0,125) à t = 0,125 s.

h(t) = e−4tu(t)x(t) = 5·u(t)t = 0,125 s
y(0.125) =
5.Difficile
x(t)t (ms)10204010−10

Un signal triangulaire monte et descend linéairement entre −10 et +10 avec la période T = 20 ms. Trouvez l’amplitude c1 de sa composante de Fourier à 50 Hz.

±10T = 20 msf = 50 Hz
c1 =
6.Difficile
5cos(6t)h(t) = 2e−2t​u(t)y(t)

L’entrée x(t) = 5·cos(6t) est appliquée à un système de réponse h(t) = 2·e−2tu(t). Trouvez la phase φ de la sortie en régime permanent par rapport à l’entrée, en degrés.

h(t) = 2e−2tu(t)x(t) = 5cos(6t)
φ = °

Corrigé

  1. 1. y[1] = −7
  2. 2. y[4] = 1
  3. 3. Ay = 6
  4. 4. y(0.125) = 0,4918
  5. 5. c1 = 8,106
  6. 6. φ = −71,57 °

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