Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x[n]n−102132−13145h[n]n−10110,520,534

Un filtre RIF calcule y[n] = x[n] + 0,5·x[n − 1] + 0,5·x[n − 2]. L’entrée est x[n] = {2, 3, −1, 1} pour n = 0…3 et nulle ailleurs. Trouvez la sortie y[1].

b = {1, 0,5, 0,5}x[n] = {2, 3, −1, 1}, n = 0…3
y[1] =
2.Facile
x[n]n−2−1−20−3122h[n]n−1012−1344−15

La suite x[n] est non nulle pour n = -1…1 et h[n] pour n = 2…4, comme indiqué. Trouvez le dernier indice nlast pour lequel y[n] = x[n] ∗ h[n] peut être non nul.

x[n]: n = -1…1h[n]: n = 2…4
nlast =
3.Moyen
x(t)t25h(t)t1

L’impulsion x(t) = 5 pour 0 ≤ t < 2 s (nulle ailleurs) est appliquée à un système de réponse h(t) = e−1tu(t). Trouvez la sortie y(4) à t = 4 s, une fois l’impulsion terminée.

x(t) = 5, 0 ≤ t < 2 sh(t) = e−1tu(t)t = 4 s
y(4) =
4.Moyen
x(t)t−10h(t)t35

Le signal x(t) n’est non nul qu’entre t = −1 s et t = 0 s, et h(t) qu’entre t = 3 s et t = 5 s. Trouvez l’instant tend où y(t) = x(t) ∗ h(t) se termine.

x: −1 … 0 sh: 3 … 5 s
tend = s
5.Difficile
x(t)t (ms)1483

Un train d’impulsions a pour hauteur 3, pour largeur d’impulsion 1 ms et pour période 4 ms. Trouvez sa composante continue (valeur moyenne) c0.

A = 3τ = 1 msT = 4 ms
c0 =
6.Difficile
5cos(10t)h(t) = 10e−5t​u(t)y(t)

L’entrée x(t) = 5·cos(10t) est appliquée à un système de réponse h(t) = 10·e−5tu(t). Trouvez la phase φ de la sortie en régime permanent par rapport à l’entrée, en degrés.

h(t) = 10e−5tu(t)x(t) = 5cos(10t)
φ = °

Corrigé

  1. 1. y[1] = 4
  2. 2. nlast = 5
  3. 3. y(4) = 0,5851
  4. 4. tend = 5 s
  5. 5. c0 = 0,75
  6. 6. φ = −63,43 °

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