Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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1.Facile
x[n]n−101112131…h[n]n−102122434

Un système de réponse impulsionnelle h[n] = {2, 2, 4} (n = 0…2) reçoit l’entrée en échelon x[n] = 1·u[n]. Trouvez la sortie y[4].

h[n] = {2, 2, 4}x[n] = 1·u[n]
y[4] =
2.Facile
x[n]n−10−11422344h[n]n−10113234

On effectue la convolution des suites x[n] = {−1, 4, 2, 4} et h[n] = {1, 3}. Trouvez la somme Σy[n] de tous les échantillons de y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {−1, 4, 2, 4}, n = 0…3h[n] = {1, 3}
Σy[n] =
3.Moyen
x(t)t14h(t)t41

L’impulsion x(t) = 4 pour 0 ≤ t < 1 s (nulle ailleurs) est appliquée à un système de réponse impulsionnelle h(t) = 1 pour 0 ≤ t < 4 s (nulle ailleurs). Trouvez la sortie y(2) à t = 2 s.

x(t) = 4, 0 ≤ t < 1 sh(t) = 1, 0 ≤ t < 4 st = 2 s
y(2) =
4.Moyen
x(t)t13h(t)t33

L’impulsion x(t) = 3 pour 0 ≤ t < 1 s (nulle ailleurs) est appliquée à un système de réponse impulsionnelle h(t) = 3 pour 0 ≤ t < 3 s (nulle ailleurs). Trouvez la sortie y(3,5) à t = 3,5 s.

x(t) = 3, 0 ≤ t < 1 sh(t) = 3, 0 ≤ t < 3 st = 3,5 s
y(3.5) =
5.Difficile
x(t)t (ms)12410−10

Un signal triangulaire monte et descend linéairement entre −10 et +10 avec la période T = 2 ms. Trouvez l’amplitude c3 de sa composante de Fourier à 1500 Hz.

±10T = 2 msf = 1500 Hz
c3 =
6.Difficile
δ[n]3+h[n]0,5·z⁻¹+

Un système obéit à y[n] = 0,5·y[n − 1] + 3·x[n] et part du repos. Trouvez l’échantillon h[3] de sa réponse impulsionnelle.

y[n] = 0,5y[n − 1] + 3x[n]x[n] = δ[n]
h[3] =

Corrigé

  1. 1. y[4] = 8
  2. 2. Σy[n] = 36
  3. 3. y(2) = 4
  4. 4. y(3.5) = 4,5
  5. 5. c3 = 0,9006
  6. 6. h[3] = 0,375

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