Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x[n]n−1011−22−33h[n]n−1012−33−14

La suite x[n] est non nulle pour n = 0…2 et h[n] pour n = 2…3, comme indiqué. Trouvez le dernier indice nlast pour lequel y[n] = x[n] ∗ h[n] peut être non nul.

x[n]: n = 0…2h[n]: n = 2…3
nlast =
2.Facile
x[n]n−101112131…h[n]n−10−1132−134

Un système de réponse impulsionnelle h[n] = {−1, 3, −1} (n = 0…2) reçoit l’entrée en échelon x[n] = 1·u[n]. Trouvez la sortie y[4].

h[n] = {−1, 3, −1}x[n] = 1·u[n]
y[4] =
3.Moyen
x(t)t01h(t)t35

Le signal x(t) n’est non nul qu’entre t = 0 s et t = 1 s, et h(t) qu’entre t = 3 s et t = 5 s. Trouvez l’instant tend où y(t) = x(t) ∗ h(t) se termine.

x: 0 … 1 sh: 3 … 5 s
tend = s
4.Moyen
x(t)t15h(t)t1

L’impulsion x(t) = 5 pour 0 ≤ t < 1 s (nulle ailleurs) est appliquée à un système de réponse h(t) = e−0,5tu(t). Trouvez la sortie y(2,5) à t = 2,5 s, une fois l’impulsion terminée.

x(t) = 5, 0 ≤ t < 1 sh(t) = e−0,5tu(t)t = 2,5 s
y(2.5) =
5.Difficile
x(t)t (ms)1020401−1

Un signal triangulaire monte et descend linéairement entre −1 et +1 avec la période T = 20 ms. Trouvez l’amplitude c1 de sa composante de Fourier à 50 Hz.

±1T = 20 msf = 50 Hz
c1 =
6.Difficile
u[n]0,5+y[n]−0,5·z⁻¹+

Un système obéit à y[n] = −0,5·y[n − 1] + 0,5·x[n] et part du repos. L’entrée est l’échelon unité x[n] = u[n]. Trouvez y[3].

y[n] = −0,5y[n − 1] + 0,5x[n]x[n] = u[n]
y[3] =

Corrigé

  1. 1. nlast = 5
  2. 2. y[4] = 1
  3. 3. tend = 6 s
  4. 4. y(2.5) = 1,859
  5. 5. c1 = 0,8106
  6. 6. y[3] = 0,3125

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