Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x[n]n−3−23−1−2011h[n]n−101−12−33−24

La suite x[n] est non nulle pour n = -2…0 et h[n] pour n = 1…3, comme indiqué. Trouvez le premier indice nfirst pour lequel y[n] = x[n] ∗ h[n] peut être non nul.

x[n]: n = -2…0h[n]: n = 1…3
nfirst =
2.Facile
x[n]n−1031−2213−145h[n]n−1011−120,2534

Un filtre RIF calcule y[n] = x[n] − x[n − 1] + 0,25·x[n − 2]. L’entrée est x[n] = {3, −2, 1, −1} pour n = 0…3 et nulle ailleurs. Trouvez la sortie y[1].

b = {1, −1, 0,25}x[n] = {3, −2, 1, −1}, n = 0…3
y[1] =
3.Moyen
x(t)t110h(t)t11

L’impulsion x(t) = 10 pour 0 ≤ t < 1 s est convoluée avec l’impulsion h(t) = 1 pour 0 ≤ t < 1 s. Trouvez l’aire Ay sous y(t) = x(t) ∗ h(t).

x(t) = 10, 0 ≤ t < 1 sh(t) = 1, 0 ≤ t < 1 s
Ay =
4.Moyen
x(t)t12h(t)t14

L’impulsion x(t) = 2 pour 0 ≤ t < 1 s est convoluée avec h(t), un triangle qui décroît linéairement de 4 à t = 0 jusqu’à 0 à t = 1 s. Trouvez l’aire Ay sous y(t) = x(t) ∗ h(t).

x(t) = 2, 0 ≤ t < 1 sh(0) = 4, h(1) = 0
Ay =
5.Difficile
δ(t)y′ + 2y = 5xh(t)

Un système obéit à y′(t) + 2·y(t) = 5·x(t). Trouvez sa réponse impulsionnelle à t = 0,5 s, h(0,5).

y′ + 2y = 5xt = 0,5 s
h(0.5) =
6.Difficile
x(t)t (ms)2,551010

Un signal carré commute entre 10 et 0 avec la période T = 5 ms (une demi-période à chaque niveau). Trouvez l’amplitude c5 de sa composante de Fourier à 1000 Hz.

0 … 10T = 5 msf = 1000 Hz
c5 =

Corrigé

  1. 1. nfirst = −1
  2. 2. y[1] = −5
  3. 3. Ay = 10
  4. 4. Ay = 4
  5. 5. h(0.5) = 1,839
  6. 6. c5 = 1,273

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