Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x[n]n−1041−224344h[n]n−1041−1234

On effectue la convolution des suites x[n] = {4, −2, 4, 4} et h[n] = {4, −1}. Trouvez la somme Σy[n] de tous les échantillons de y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {4, −2, 4, 4}, n = 0…3h[n] = {4, −1}
Σy[n] =
2.Facile
x[n]n−10−21−32234h[n]n−10−21−2234

Les suites x[n] = {−2, −3, 2} et h[n] = {−2, −2} commencent toutes deux en n = 0. Trouvez le plus grand échantillon ymax de y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {−2, −3, 2}, n = 0…2h[n] = {−2, −2}, n = 0…1
ymax =
3.Moyen
x(t)t13h(t)t35

Le signal x(t) n’est non nul qu’entre t = 1 s et t = 3 s, et h(t) qu’entre t = 3 s et t = 5 s. Trouvez l’instant tstart où y(t) = x(t) ∗ h(t) commence.

x: 1 … 3 sh: 3 … 5 s
tstart = s
4.Moyen
x(t)t13h(t)t32

L’impulsion x(t) = 3 pour 0 ≤ t < 1 s (nulle ailleurs) est appliquée à un système de réponse impulsionnelle h(t) = 2 pour 0 ≤ t < 3 s (nulle ailleurs). Trouvez la sortie y(0,5) à t = 0,5 s.

x(t) = 3, 0 ≤ t < 1 sh(t) = 2, 0 ≤ t < 3 st = 0,5 s
y(0.5) =
5.Difficile
δ[n]2+h[n]0,6·z⁻¹+

Un système obéit à y[n] = 0,6·y[n − 1] + 2·x[n] et part du repos. Trouvez l’échantillon h[5] de sa réponse impulsionnelle.

y[n] = 0,6y[n − 1] + 2x[n]x[n] = δ[n]
h[5] =
6.Difficile
5cos(30t)h(t) = 5e−20t​u(t)y(t)

L’entrée x(t) = 5·cos(30t) est appliquée à un système de réponse h(t) = 5·e−20tu(t). Trouvez la phase φ de la sortie en régime permanent par rapport à l’entrée, en degrés.

h(t) = 5e−20tu(t)x(t) = 5cos(30t)
φ = °

Corrigé

  1. 1. Σy[n] = 30
  2. 2. ymax = 10
  3. 3. tstart = 4 s
  4. 4. y(0.5) = 3
  5. 5. h[5] = 0,1555
  6. 6. φ = −56,31 °

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