Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x[n]n−1041−32−23−34h[n]n−10213234

On effectue la convolution des suites x[n] = {4, −3, −2, −3} et h[n] = {2, 3}. Trouvez la somme Σy[n] de tous les échantillons de y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {4, −3, −2, −3}, n = 0…3h[n] = {2, 3}
Σy[n] =
2.Facile
x[n]n−10−11−2213145h[n]n−101112134

Un filtre RIF calcule y[n] = x[n] + x[n − 1] + x[n − 2]. L’entrée est x[n] = {−1, −2, 1, 1} pour n = 0…3 et nulle ailleurs. Trouvez la sortie y[1].

b = {1, 1, 1}x[n] = {−1, −2, 1, 1}, n = 0…3
y[1] =
3.Moyen
x(t)t12h(t)t33

L’impulsion x(t) = 2 pour 0 ≤ t < 1 s (nulle ailleurs) est appliquée à un système de réponse impulsionnelle h(t) = 3 pour 0 ≤ t < 3 s (nulle ailleurs). Trouvez la sortie y(2,5) à t = 2,5 s.

x(t) = 2, 0 ≤ t < 1 sh(t) = 3, 0 ≤ t < 3 st = 2,5 s
y(2.5) =
4.Moyen
x(t)t21h(t)t11

L’impulsion x(t) = 1 pour 0 ≤ t < 2 s est convoluée avec h(t), un triangle qui décroît linéairement de 1 à t = 0 jusqu’à 0 à t = 1 s. Trouvez l’aire Ay sous y(t) = x(t) ∗ h(t).

x(t) = 1, 0 ≤ t < 2 sh(0) = 1, h(1) = 0
Ay =
5.Difficile
δ(t)y′ + 5y = 2xh(t)

Un système obéit à y′(t) + 5·y(t) = 2·x(t). Trouvez sa réponse impulsionnelle à t = 2 s, h(2).

y′ + 5y = 2xt = 2 s
h(2) =
6.Difficile
10cos(4t)h(t) = 2e−2t​u(t)y(t)

L’entrée x(t) = 10·cos(4t) est appliquée à un système de réponse h(t) = 2·e−2tu(t). Trouvez la phase φ de la sortie en régime permanent par rapport à l’entrée, en degrés.

h(t) = 2e−2tu(t)x(t) = 10cos(4t)
φ = °

Corrigé

  1. 1. Σy[n] = −20
  2. 2. y[1] = −3
  3. 3. y(2.5) = 6
  4. 4. Ay = 1
  5. 5. h(2) = 9,08 × 10⁻⁵
  6. 6. φ = −63,43 °

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