Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x[n]n−1011−2213−245h[n]n−100,510,252134

Un filtre RIF calcule y[n] = 0,5·x[n] + 0,25·x[n − 1] + x[n − 2]. L’entrée est x[n] = {1, −2, 1, −2} pour n = 0…3 et nulle ailleurs. Trouvez la sortie y[1].

b = {0,5, 0,25, 1}x[n] = {1, −2, 1, −2}, n = 0…3
y[1] =
2.Facile
x[n]n−10−11−12−234h[n]n−10414234

On effectue la convolution des suites x[n] = {−1, −1, −2} et h[n] = {4, 4}. Trouvez la somme Σy[n] de tous les échantillons de y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {−1, −1, −2}, n = 0…2h[n] = {4, 4}
Σy[n] =
3.Moyen
x(t)t410h(t)t14

L’impulsion x(t) = 10 pour 0 ≤ t < 4 s est convoluée avec h(t), un triangle qui décroît linéairement de 4 à t = 0 jusqu’à 0 à t = 1 s. Trouvez l’aire Ay sous y(t) = x(t) ∗ h(t).

x(t) = 10, 0 ≤ t < 4 sh(0) = 4, h(1) = 0
Ay =
4.Moyen
x(t)t0,55h(t)t1

L’impulsion x(t) = 5 pour 0 ≤ t < 0.5 s (nulle ailleurs) est appliquée à un système de réponse h(t) = e−1tu(t). Trouvez la sortie y(2,5) à t = 2,5 s, une fois l’impulsion terminée.

x(t) = 5, 0 ≤ t < 0.5 sh(t) = e−1tu(t)t = 2,5 s
y(2.5) =
5.Difficile
x(t)t (ms)1245−5

Un signal triangulaire monte et descend linéairement entre −5 et +5 avec la période T = 2 ms. Trouvez l’amplitude c5 de sa composante de Fourier à 2500 Hz.

±5T = 2 msf = 2500 Hz
c5 =
6.Difficile
δ(t)y′ + 2y = 5xh(t)

Un système obéit à y′(t) + 2·y(t) = 5·x(t). Trouvez sa réponse impulsionnelle à t = 0,25 s, h(0,25).

y′ + 2y = 5xt = 0,25 s
h(0.25) =

Corrigé

  1. 1. y[1] = −0,75
  2. 2. Σy[n] = −32
  3. 3. Ay = 80
  4. 4. y(2.5) = 0,2663
  5. 5. c5 = 0,1621
  6. 6. h(0.25) = 3,033

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