Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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1.Facile
x[n]n−10−11321314h[n]n−101132334

Les suites x[n] = {−1, 3, 1, 1} et h[n] = {1, 3, 3} commencent toutes deux en n = 0. Trouvez le plus grand échantillon ymax de y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {−1, 3, 1, 1}, n = 0…3h[n] = {1, 3, 3}, n = 0…2
ymax =
2.Facile
x[n]n−1031−22−2324h[n]n−10123241526

La suite x[n] est non nulle pour n = 0…3 et h[n] pour n = 3…5, comme indiqué. Trouvez le premier indice nfirst pour lequel y[n] = x[n] ∗ h[n] peut être non nul.

x[n]: n = 0…3h[n]: n = 3…5
nfirst =
3.Moyen
x(t)t5h(t)t21

Un système a pour réponse impulsionnelle h(t) = e−0,5tu(t). L’entrée est un échelon x(t) = 5·u(t). Trouvez la sortie y(0,8) à t = 0,8 s.

h(t) = e−0,5tu(t)x(t) = 5·u(t)t = 0,8 s
y(0.8) =
4.Moyen
x(t)t21h(t)t1

L’impulsion x(t) = 1 pour 0 ≤ t < 2 s (nulle ailleurs) est appliquée à un système de réponse h(t) = e−4tu(t). Trouvez la sortie y(3) à t = 3 s, une fois l’impulsion terminée.

x(t) = 1, 0 ≤ t < 2 sh(t) = e−4tu(t)t = 3 s
y(3) =
5.Difficile
10cos(2t)h(t) = 2e−2t​u(t)y(t)

L’entrée x(t) = 10·cos(2t) est appliquée à un système de réponse h(t) = 2·e−2tu(t). Trouvez l’amplitude Ym de la sortie en régime permanent.

h(t) = 2e−2tu(t)x(t) = 10cos(2t)
Ym =
6.Difficile
x(t)t (ms)0,4242

Un train d’impulsions a pour hauteur 2, pour largeur d’impulsion 0,4 ms et pour période 2 ms. Trouvez l’amplitude c2 de l’harmonique de rang 2, à 1000 Hz.

A = 2τ = 0,4 msT = 2 ms
c2 =

Corrigé

  1. 1. ymax = 13
  2. 2. nfirst = 3
  3. 3. y(0.8) = 3,297
  4. 4. y(3) = 0,004577
  5. 5. Ym = 7,071
  6. 6. c2 = 0,6055

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