Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x[n]n−104132−234h[n]n−102122−134

Les suites x[n] = {4, 3, −2} et h[n] = {2, 2, −1} commencent toutes deux en n = 0. Trouvez le plus grand échantillon ymax de y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {4, 3, −2}, n = 0…2h[n] = {2, 2, −1}, n = 0…2
ymax =
2.Facile
x[n]n−10123−24−35−16h[n]n−3−24−130−11

La suite x[n] est non nulle pour n = 3…5 et h[n] pour n = -2…0, comme indiqué. Trouvez le premier indice nfirst pour lequel y[n] = x[n] ∗ h[n] peut être non nul.

x[n]: n = 3…5h[n]: n = -2…0
nfirst =
3.Moyen
x(t)t25h(t)t1

L’impulsion x(t) = 5 pour 0 ≤ t < 2 s (nulle ailleurs) est appliquée à un système de réponse h(t) = e−2tu(t). Trouvez la sortie y(3,5) à t = 3,5 s, une fois l’impulsion terminée.

x(t) = 5, 0 ≤ t < 2 sh(t) = e−2tu(t)t = 3,5 s
y(3.5) =
4.Moyen
x(t)t4h(t)t21

Un système a pour réponse impulsionnelle h(t) = e−0,5tu(t). L’entrée est un échelon x(t) = 4·u(t). Trouvez la sortie y(6) à t = 6 s.

h(t) = e−0,5tu(t)x(t) = 4·u(t)t = 6 s
y(6) =
5.Difficile
u[n]3+y[n]−0,8·z⁻¹+

Un système obéit à y[n] = −0,8·y[n − 1] + 3·x[n] et part du repos. L’entrée est l’échelon unité x[n] = u[n]. Trouvez y[4].

y[n] = −0,8y[n − 1] + 3x[n]x[n] = u[n]
y[4] =
6.Difficile
δ(t)y′ + 0,5y = 10xh(t)

Un système obéit à y′(t) + 0,5·y(t) = 10·x(t). Trouvez sa réponse impulsionnelle à t = 1 s, h(1).

y′ + 0,5y = 10xt = 1 s
h(1) =

Corrigé

  1. 1. ymax = 14
  2. 2. nfirst = 1
  3. 3. y(3.5) = 0,1222
  4. 4. y(6) = 7,602
  5. 5. y[4] = 2,213
  6. 6. h(1) = 6,065

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