Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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1.Facile
x[n]n−10−21−22−234h[n]n−10113234

On effectue la convolution des suites x[n] = {−2, −2, −2} et h[n] = {1, 3}. Trouvez la somme Σy[n] de tous les échantillons de y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {−2, −2, −2}, n = 0…2h[n] = {1, 3}
Σy[n] =
2.Facile
x[n]n−102122232…h[n]n−10−3132−13345

Un système de réponse impulsionnelle h[n] = {−3, 3, −1, 3} (n = 0…3) reçoit l’entrée en échelon x[n] = 2·u[n]. Trouvez la sortie y[3].

h[n] = {−3, 3, −1, 3}x[n] = 2·u[n]
y[3] =
3.Moyen
x(t)t410h(t)t14

L’impulsion x(t) = 10 pour 0 ≤ t < 4 s est convoluée avec h(t), un triangle qui décroît linéairement de 4 à t = 0 jusqu’à 0 à t = 1 s. Trouvez l’aire Ay sous y(t) = x(t) ∗ h(t).

x(t) = 10, 0 ≤ t < 4 sh(0) = 4, h(1) = 0
Ay =
4.Moyen
x(t)t12h(t)t12

Le signal x(t) n’est non nul qu’entre t = 1 s et t = 2 s, et h(t) qu’entre t = 1 s et t = 2 s. Trouvez la durée D de y(t) = x(t) ∗ h(t).

x: 1 … 2 sh: 1 … 2 s
D = s
5.Difficile
u[n]3+y[n]0,8·z⁻¹+

Un système obéit à y[n] = 0,8·y[n − 1] + 3·x[n] et part du repos. L’entrée est l’échelon unité x[n] = u[n]. Trouvez y[3].

y[n] = 0,8y[n − 1] + 3x[n]x[n] = u[n]
y[3] =
6.Difficile
x(t)t (ms)2,55103−3

Un signal carré commute entre +3 et −3 avec la période T = 5 ms (une demi-période à chaque niveau). Trouvez l’amplitude c7 de sa composante de Fourier à 1400 Hz.

±3T = 5 msf = 1400 Hz
c7 =

Corrigé

  1. 1. Σy[n] = −24
  2. 2. y[3] = 4
  3. 3. Ay = 80
  4. 4. D = 2 s
  5. 5. y[3] = 8,856
  6. 6. c7 = 0,5457

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