Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x[n]n−1041−1213445h[n]n−1021−12134

Un filtre RIF calcule y[n] = 2·x[n] − x[n − 1] + x[n − 2]. L’entrée est x[n] = {4, −1, 1, 4} pour n = 0…3 et nulle ailleurs. Trouvez la sortie y[4].

b = {2, −1, 1}x[n] = {4, −1, 1, 4}, n = 0…3
y[4] =
2.Facile
x[n]n−4−34−23−1−10−21h[n]n−10122334

La suite x[n] est non nulle pour n = -3…0 et h[n] pour n = 2…3, comme indiqué. Trouvez le dernier indice nlast pour lequel y[n] = x[n] ∗ h[n] peut être non nul.

x[n]: n = -3…0h[n]: n = 2…3
nlast =
3.Moyen
x(t)t32h(t)t13

L’impulsion x(t) = 2 pour 0 ≤ t < 3 s est convoluée avec h(t), un triangle qui décroît linéairement de 3 à t = 0 jusqu’à 0 à t = 1 s. Trouvez l’aire Ay sous y(t) = x(t) ∗ h(t).

x(t) = 2, 0 ≤ t < 3 sh(0) = 3, h(1) = 0
Ay =
4.Moyen
x(t)t5h(t)t1

L’entrée x(t) = 5·e−2tu(t) est appliquée à un système de réponse h(t) = e−1tu(t). Trouvez la sortie y(1) à t = 1 s.

x(t) = 5·e−2tu(t)h(t) = e−1tu(t)t = 1 s
y(1) =
5.Difficile
x(t)t (ms)5102010

Un signal carré commute entre 10 et 0 avec la période T = 10 ms (une demi-période à chaque niveau). Trouvez l’amplitude c5 de sa composante de Fourier à 500 Hz.

0 … 10T = 10 msf = 500 Hz
c5 =
6.Difficile
δ[n]0,5+h[n]0,6·z⁻¹+

Un système obéit à y[n] = 0,6·y[n − 1] + 0,5·x[n] et part du repos. Trouvez l’échantillon h[4] de sa réponse impulsionnelle.

y[n] = 0,6y[n − 1] + 0,5x[n]x[n] = δ[n]
h[4] =

Corrigé

  1. 1. y[4] = −3
  2. 2. nlast = 3
  3. 3. Ay = 9
  4. 4. y(1) = 1,163
  5. 5. c5 = 1,273
  6. 6. h[4] = 0,0648

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