Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x[n]n−10113243−245h[n]n−10210,52−0,534

Un filtre RIF calcule y[n] = 2·x[n] + 0,5·x[n − 1] − 0,5·x[n − 2]. L’entrée est x[n] = {1, 3, 4, −2} pour n = 0…3 et nulle ailleurs. Trouvez la sortie y[4].

b = {2, 0,5, −0,5}x[n] = {1, 3, 4, −2}, n = 0…3
y[4] =
2.Facile
x[n]n−1031−32−134h[n]n−10−11−3234

Les suites x[n] = {3, −3, −1} et h[n] = {−1, −3} commencent toutes deux en n = 0. Trouvez l’échantillon y[1] de la convolution y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {3, −3, −1}, n = 0…2h[n] = {−1, −3}, n = 0…1
y[1] =
3.Moyen
x(t)t−21h(t)t12

Le signal x(t) n’est non nul qu’entre t = −2 s et t = 1 s, et h(t) qu’entre t = 1 s et t = 2 s. Trouvez l’instant tend où y(t) = x(t) ∗ h(t) se termine.

x: −2 … 1 sh: 1 … 2 s
tend = s
4.Moyen
x(t)t0,510h(t)t1

L’impulsion x(t) = 10 pour 0 ≤ t < 0.5 s (nulle ailleurs) est appliquée à un système de réponse h(t) = e−5tu(t). Trouvez la sortie y(1) à t = 1 s, une fois l’impulsion terminée.

x(t) = 10, 0 ≤ t < 0.5 sh(t) = e−5tu(t)t = 1 s
y(1) =
5.Difficile
u[n]0,5+y[n]0,6·z⁻¹+

Un système obéit à y[n] = 0,6·y[n − 1] + 0,5·x[n] et part du repos. L’entrée est l’échelon unité x[n] = u[n]. Trouvez y[5].

y[n] = 0,6y[n − 1] + 0,5x[n]x[n] = u[n]
y[5] =
6.Difficile
x(t)t (ms)0,5121

Un signal carré commute entre 1 et 0 avec la période T = 1 ms (une demi-période à chaque niveau). Trouvez l’amplitude c5 de sa composante de Fourier à 5000 Hz.

0 … 1T = 1 msf = 5000 Hz
c5 =

Corrigé

  1. 1. y[4] = −3
  2. 2. y[1] = −6
  3. 3. tend = 3 s
  4. 4. y(1) = 0,1507
  5. 5. y[5] = 1,192
  6. 6. c5 = 0,1273

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