Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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1.Facile
x[n]n−101122−334h[n]n−1041−1234

Les suites x[n] = {1, 2, −3} et h[n] = {4, −1} commencent toutes deux en n = 0. Trouvez l’échantillon y[1] de la convolution y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {1, 2, −3}, n = 0…2h[n] = {4, −1}, n = 0…1
y[1] =
2.Facile
x[n]n−1041−32134h[n]n−10−3112−334

Les suites x[n] = {4, −3, 1} et h[n] = {−3, 1, −3} commencent toutes deux en n = 0. Trouvez le plus grand échantillon ymax de y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {4, −3, 1}, n = 0…2h[n] = {−3, 1, −3}, n = 0…2
ymax =
3.Moyen
x(t)t35h(t)t24

L’impulsion x(t) = 5 pour 0 ≤ t < 3 s est convoluée avec h(t), un triangle qui décroît linéairement de 4 à t = 0 jusqu’à 0 à t = 2 s. Trouvez l’aire Ay sous y(t) = x(t) ∗ h(t).

x(t) = 5, 0 ≤ t < 3 sh(0) = 4, h(2) = 0
Ay =
4.Moyen
x(t)t12h(t)t−11

Le signal x(t) n’est non nul qu’entre t = 1 s et t = 2 s, et h(t) qu’entre t = −1 s et t = 1 s. Trouvez la durée D de y(t) = x(t) ∗ h(t).

x: 1 … 2 sh: −1 … 1 s
D = s
5.Difficile
x(t)t (ms)2483−3

Un signal triangulaire monte et descend linéairement entre −3 et +3 avec la période T = 4 ms. Trouvez l’amplitude c3 de sa composante de Fourier à 750 Hz.

±3T = 4 msf = 750 Hz
c3 =
6.Difficile
u[n]4+y[n]0,5·z⁻¹+

Un système obéit à y[n] = 0,5·y[n − 1] + 4·x[n] et part du repos. L’entrée est l’échelon unité x[n] = u[n]. Trouvez y[4].

y[n] = 0,5y[n − 1] + 4x[n]x[n] = u[n]
y[4] =

Corrigé

  1. 1. y[1] = 7
  2. 2. ymax = 13
  3. 3. Ay = 60
  4. 4. D = 3 s
  5. 5. c3 = 0,2702
  6. 6. y[4] = 7,75

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