Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x[n]n−10−21−2223345h[n]n−100,51−12−0,534

Un filtre RIF calcule y[n] = 0,5·x[n] − x[n − 1] − 0,5·x[n − 2]. L’entrée est x[n] = {−2, −2, 2, 3} pour n = 0…3 et nulle ailleurs. Trouvez la sortie y[4].

b = {0,5, −1, −0,5}x[n] = {−2, −2, 2, 3}, n = 0…3
y[4] =
2.Facile
x[n]n−101132−234h[n]n−1031−32−134

On effectue la convolution des suites x[n] = {1, 3, −2} et h[n] = {3, −3, −1}. Trouvez la somme Σy[n] de tous les échantillons de y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {1, 3, −2}, n = 0…2h[n] = {3, −3, −1}
Σy[n] =
3.Moyen
x(t)t12h(t)t25

L’impulsion x(t) = 2 pour 0 ≤ t < 1 s (nulle ailleurs) est appliquée à un système de réponse impulsionnelle h(t) = 5 pour 0 ≤ t < 2 s (nulle ailleurs). Trouvez la sortie y(1) à t = 1 s.

x(t) = 2, 0 ≤ t < 1 sh(t) = 5, 0 ≤ t < 2 st = 1 s
y(1) =
4.Moyen
x(t)t32h(t)t12

L’impulsion x(t) = 2 pour 0 ≤ t < 3 s est convoluée avec l’impulsion h(t) = 2 pour 0 ≤ t < 1 s. Trouvez l’aire Ay sous y(t) = x(t) ∗ h(t).

x(t) = 2, 0 ≤ t < 3 sh(t) = 2, 0 ≤ t < 1 s
Ay =
5.Difficile
x(t)t (ms)0,5125−5

Un signal triangulaire monte et descend linéairement entre −5 et +5 avec la période T = 1 ms. Trouvez l’amplitude c3 de sa composante de Fourier à 3000 Hz.

±5T = 1 msf = 3000 Hz
c3 =
6.Difficile
2cos(4t)h(t) = 2e−2t​u(t)y(t)

L’entrée x(t) = 2·cos(4t) est appliquée à un système de réponse h(t) = 2·e−2tu(t). Trouvez la phase φ de la sortie en régime permanent par rapport à l’entrée, en degrés.

h(t) = 2e−2tu(t)x(t) = 2cos(4t)
φ = °

Corrigé

  1. 1. y[4] = −4
  2. 2. Σy[n] = −2
  3. 3. y(1) = 10
  4. 4. Ay = 12
  5. 5. c3 = 0,4503
  6. 6. φ = −63,43 °

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