Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x[n]n−105152535…h[n]n−10−21−1233145

Un système de réponse impulsionnelle h[n] = {−2, −1, 3, 1} (n = 0…3) reçoit l’entrée en échelon x[n] = 5·u[n]. Trouvez la sortie y[3].

h[n] = {−2, −1, 3, 1}x[n] = 5·u[n]
y[3] =
2.Facile
x[n]n−10−21−3233h[n]n−2−130−21

La suite x[n] est non nulle pour n = 0…2 et h[n] pour n = -1…0, comme indiqué. Trouvez le dernier indice nlast pour lequel y[n] = x[n] ∗ h[n] peut être non nul.

x[n]: n = 0…2h[n]: n = -1…0
nlast =
3.Moyen
x(t)t5h(t)t0,251

Un système a pour réponse impulsionnelle h(t) = e−4tu(t). L’entrée est un échelon x(t) = 5·u(t). Trouvez la sortie y(0,25) à t = 0,25 s.

h(t) = e−4tu(t)x(t) = 5·u(t)t = 0,25 s
y(0.25) =
4.Moyen
x(t)t24h(t)t22

L’impulsion x(t) = 4 pour 0 ≤ t < 2 s est convoluée avec h(t), un triangle qui décroît linéairement de 2 à t = 0 jusqu’à 0 à t = 2 s. Trouvez l’aire Ay sous y(t) = x(t) ∗ h(t).

x(t) = 4, 0 ≤ t < 2 sh(0) = 2, h(2) = 0
Ay =
5.Difficile
δ[n]3+h[n]0,5·z⁻¹+

Un système obéit à y[n] = 0,5·y[n − 1] + 3·x[n] et part du repos. Trouvez l’échantillon h[4] de sa réponse impulsionnelle.

y[n] = 0,5y[n − 1] + 3x[n]x[n] = δ[n]
h[4] =
6.Difficile
x(t)t (ms)2,55101

Un signal carré commute entre 1 et 0 avec la période T = 5 ms (une demi-période à chaque niveau). Trouvez l’amplitude c1 de sa composante de Fourier à 200 Hz.

0 … 1T = 5 msf = 200 Hz
c1 =

Corrigé

  1. 1. y[3] = 5
  2. 2. nlast = 2
  3. 3. y(0.25) = 0,7902
  4. 4. Ay = 16
  5. 5. h[4] = 0,1875
  6. 6. c1 = 0,6366

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