Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x[n]n−1011−22234h[n]n−10311234

Les suites x[n] = {1, −2, 2} et h[n] = {3, 1} commencent toutes deux en n = 0. Trouvez le plus grand échantillon ymax de y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {1, −2, 2}, n = 0…2h[n] = {3, 1}, n = 0…1
ymax =
2.Facile
x[n]n−10111213−145h[n]n−101112−0,534

Un filtre RIF calcule y[n] = x[n] + x[n − 1] − 0,5·x[n − 2]. L’entrée est x[n] = {1, 1, 1, −1} pour n = 0…3 et nulle ailleurs. Trouvez la sortie y[2].

b = {1, 1, −0,5}x[n] = {1, 1, 1, −1}, n = 0…3
y[2] =
3.Moyen
x(t)t0,52h(t)t1

L’impulsion x(t) = 2 pour 0 ≤ t < 0.5 s (nulle ailleurs) est appliquée à un système de réponse h(t) = e−2tu(t). Trouvez la sortie y(1,5) à t = 1,5 s, une fois l’impulsion terminée.

x(t) = 2, 0 ≤ t < 0.5 sh(t) = e−2tu(t)t = 1,5 s
y(1.5) =
4.Moyen
x(t)t22h(t)t42

L’impulsion x(t) = 2 pour 0 ≤ t < 2 s est convoluée avec h(t), un triangle qui décroît linéairement de 2 à t = 0 jusqu’à 0 à t = 4 s. Trouvez l’aire Ay sous y(t) = x(t) ∗ h(t).

x(t) = 2, 0 ≤ t < 2 sh(0) = 2, h(4) = 0
Ay =
5.Difficile
x(t)t (ms)1020401−1

Un signal carré commute entre +1 et −1 avec la période T = 20 ms (une demi-période à chaque niveau). Trouvez l’amplitude c1 de sa composante de Fourier à 50 Hz.

±1T = 20 msf = 50 Hz
c1 =
6.Difficile
10cos(40t)h(t) = 2e−20t​u(t)y(t)

L’entrée x(t) = 10·cos(40t) est appliquée à un système de réponse h(t) = 2·e−20tu(t). Trouvez l’amplitude Ym de la sortie en régime permanent.

h(t) = 2e−20tu(t)x(t) = 10cos(40t)
Ym =

Corrigé

  1. 1. ymax = 4
  2. 2. y[2] = 1,5
  3. 3. y(1.5) = 0,08555
  4. 4. Ay = 16
  5. 5. c1 = 1,273
  6. 6. Ym = 0,4472

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