Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x[n]n−1013243−24h[n]n−10132−23

La suite x[n] est non nulle pour n = 1…3 et h[n] pour n = 1…2, comme indiqué. Trouvez le dernier indice nlast pour lequel y[n] = x[n] ∗ h[n] peut être non nul.

x[n]: n = 1…3h[n]: n = 1…2
nlast =
2.Facile
x[n]n−10−3122234h[n]n−1011−2234

On effectue la convolution des suites x[n] = {−3, 2, 2} et h[n] = {1, −2}. Trouvez la somme Σy[n] de tous les échantillons de y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {−3, 2, 2}, n = 0…2h[n] = {1, −2}
Σy[n] =
3.Moyen
x(t)t4h(t)t11

Un système a pour réponse impulsionnelle h(t) = e−1tu(t). L’entrée est un échelon x(t) = 4·u(t). Trouvez la sortie y(4) à t = 4 s.

h(t) = e−1tu(t)x(t) = 4·u(t)t = 4 s
y(4) =
4.Moyen
x(t)t25h(t)t−11

Le signal x(t) n’est non nul qu’entre t = 2 s et t = 5 s, et h(t) qu’entre t = −1 s et t = 1 s. Trouvez l’instant tstart où y(t) = x(t) ∗ h(t) commence.

x: 2 … 5 sh: −1 … 1 s
tstart = s
5.Difficile
u[n]3+y[n]0,6·z⁻¹+

Un système obéit à y[n] = 0,6·y[n − 1] + 3·x[n] et part du repos. L’entrée est l’échelon unité x[n] = u[n]. Trouvez y[5].

y[n] = 0,6y[n − 1] + 3x[n]x[n] = u[n]
y[5] =
6.Difficile
2cos(15t)h(t) = 2e−10t​u(t)y(t)

L’entrée x(t) = 2·cos(15t) est appliquée à un système de réponse h(t) = 2·e−10tu(t). Trouvez la phase φ de la sortie en régime permanent par rapport à l’entrée, en degrés.

h(t) = 2e−10tu(t)x(t) = 2cos(15t)
φ = °

Corrigé

  1. 1. nlast = 5
  2. 2. Σy[n] = −1
  3. 3. y(4) = 3,927
  4. 4. tstart = 1 s
  5. 5. y[5] = 7,15
  6. 6. φ = −56,31 °

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