Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x[n]n−105152535…h[n]n−10−21−12434

Un système de réponse impulsionnelle h[n] = {−2, −1, 4} (n = 0…2) reçoit l’entrée en échelon x[n] = 5·u[n]. Trouvez la sortie y[4].

h[n] = {−2, −1, 4}x[n] = 5·u[n]
y[4] =
2.Facile
x[n]n−1021−32−334h[n]n−10−112234

Les suites x[n] = {2, −3, −3} et h[n] = {−1, 2} commencent toutes deux en n = 0. Trouvez l’échantillon y[1] de la convolution y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {2, −3, −3}, n = 0…2h[n] = {−1, 2}, n = 0…1
y[1] =
3.Moyen
x(t)t0,51h(t)t1

L’impulsion x(t) = 1 pour 0 ≤ t < 0.5 s (nulle ailleurs) est appliquée à un système de réponse h(t) = e−2tu(t). Trouvez la sortie y(2,5) à t = 2,5 s, une fois l’impulsion terminée.

x(t) = 1, 0 ≤ t < 0.5 sh(t) = e−2tu(t)t = 2,5 s
y(2.5) =
4.Moyen
x(t)t0,510h(t)t1

L’impulsion x(t) = 10 pour 0 ≤ t < 0.5 s (nulle ailleurs) est appliquée à un système de réponse h(t) = e−5tu(t). Trouvez la sortie y(2,5) à t = 2,5 s, une fois l’impulsion terminée.

x(t) = 10, 0 ≤ t < 0.5 sh(t) = e−5tu(t)t = 2,5 s
y(2.5) =
5.Difficile
δ(t)y′ + 2y = 10xh(t)

Un système obéit à y′(t) + 2·y(t) = 10·x(t). Trouvez sa réponse impulsionnelle à t = 0,25 s, h(0,25).

y′ + 2y = 10xt = 0,25 s
h(0.25) =
6.Difficile
x(t)t (ms)0,5121−1

Un signal triangulaire monte et descend linéairement entre −1 et +1 avec la période T = 1 ms. Trouvez l’amplitude c5 de sa composante de Fourier à 5000 Hz.

±1T = 1 msf = 5000 Hz
c5 =

Corrigé

  1. 1. y[4] = 5
  2. 2. y[1] = 7
  3. 3. y(2.5) = 0,005789
  4. 4. y(2.5) = 8,335 × 10⁻⁵
  5. 5. h(0.25) = 6,065
  6. 6. c5 = 0,03242

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