Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x[n]n−10−2132−234h[n]n−1041−3234

On effectue la convolution des suites x[n] = {−2, 3, −2} et h[n] = {4, −3}. Trouvez la somme Σy[n] de tous les échantillons de y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {−2, 3, −2}, n = 0…2h[n] = {4, −3}
Σy[n] =
2.Facile
x[n]n−102122434h[n]n−10−2122334

Les suites x[n] = {2, 2, 4} et h[n] = {−2, 2, 3} commencent toutes deux en n = 0. Trouvez l’échantillon y[2] de la convolution y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {2, 2, 4}, n = 0…2h[n] = {−2, 2, 3}, n = 0…2
y[2] =
3.Moyen
x(t)t24h(t)t43

L’impulsion x(t) = 4 pour 0 ≤ t < 2 s (nulle ailleurs) est appliquée à un système de réponse impulsionnelle h(t) = 3 pour 0 ≤ t < 4 s (nulle ailleurs). Trouvez la sortie y(1) à t = 1 s.

x(t) = 4, 0 ≤ t < 2 sh(t) = 3, 0 ≤ t < 4 st = 1 s
y(1) =
4.Moyen
x(t)t02h(t)t23

Le signal x(t) n’est non nul qu’entre t = 0 s et t = 2 s, et h(t) qu’entre t = 2 s et t = 3 s. Trouvez l’instant tend où y(t) = x(t) ∗ h(t) se termine.

x: 0 … 2 sh: 2 … 3 s
tend = s
5.Difficile
x(t)t (ms)1020402−2

Un signal carré commute entre +2 et −2 avec la période T = 20 ms (une demi-période à chaque niveau). Trouvez l’amplitude c3 de sa composante de Fourier à 150 Hz.

±2T = 20 msf = 150 Hz
c3 =
6.Difficile
δ(t)y′ + 1y = 5xh(t)

Un système obéit à y′(t) + 1·y(t) = 5·x(t). Trouvez sa réponse impulsionnelle à t = 2 s, h(2).

y′ + 1y = 5xt = 2 s
h(2) =

Corrigé

  1. 1. Σy[n] = −1
  2. 2. y[2] = 2
  3. 3. y(1) = 12
  4. 4. tend = 5 s
  5. 5. c3 = 0,8488
  6. 6. h(2) = 0,6767

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