Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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1.Facile
x[n]n−2−120111223h[n]n−101233−14

La suite x[n] est non nulle pour n = -1…2 et h[n] pour n = 2…3, comme indiqué. Trouvez le dernier indice nlast pour lequel y[n] = x[n] ∗ h[n] peut être non nul.

x[n]: n = -1…2h[n]: n = 2…3
nlast =
2.Facile
x[n]n−10−2122234h[n]n−10−11−22234

Les suites x[n] = {−2, 2, 2} et h[n] = {−1, −2, 2} commencent toutes deux en n = 0. Trouvez le plus grand échantillon ymax de y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {−2, 2, 2}, n = 0…2h[n] = {−1, −2, 2}, n = 0…2
ymax =
3.Moyen
x(t)t1h(t)t1

L’entrée x(t) = 1·e−2tu(t) est appliquée à un système de réponse h(t) = e−0,5tu(t). Trouvez la sortie y(1,5) à t = 1,5 s.

x(t) = 1·e−2tu(t)h(t) = e−0,5tu(t)t = 1,5 s
y(1.5) =
4.Moyen
x(t)t21h(t)t23

L’impulsion x(t) = 1 pour 0 ≤ t < 2 s est convoluée avec h(t), un triangle qui décroît linéairement de 3 à t = 0 jusqu’à 0 à t = 2 s. Trouvez l’aire Ay sous y(t) = x(t) ∗ h(t).

x(t) = 1, 0 ≤ t < 2 sh(0) = 3, h(2) = 0
Ay =
5.Difficile
u[n]0,5+y[n]0,5·z⁻¹+

Un système obéit à y[n] = 0,5·y[n − 1] + 0,5·x[n] et part du repos. L’entrée est l’échelon unité x[n] = u[n]. Trouvez y[2].

y[n] = 0,5y[n − 1] + 0,5x[n]x[n] = u[n]
y[2] =
6.Difficile
δ[n]3+h[n]0,8·z⁻¹+

Un système obéit à y[n] = 0,8·y[n − 1] + 3·x[n] et part du repos. Trouvez l’échantillon h[3] de sa réponse impulsionnelle.

y[n] = 0,8y[n − 1] + 3x[n]x[n] = δ[n]
h[3] =

Corrigé

  1. 1. nlast = 5
  2. 2. ymax = 4
  3. 3. y(1.5) = 0,2817
  4. 4. Ay = 6
  5. 5. y[2] = 0,875
  6. 6. h[3] = 1,536

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