Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x[n]n−104132−334h[n]n−102112334

Les suites x[n] = {4, 3, −3} et h[n] = {2, 1, 3} commencent toutes deux en n = 0. Trouvez l’échantillon y[3] de la convolution y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {4, 3, −3}, n = 0…2h[n] = {2, 1, 3}, n = 0…2
y[3] =
2.Facile
x[n]n−10−21−2233145h[n]n−100,51120,2534

Un filtre RIF calcule y[n] = 0,5·x[n] + x[n − 1] + 0,25·x[n − 2]. L’entrée est x[n] = {−2, −2, 3, 1} pour n = 0…3 et nulle ailleurs. Trouvez la sortie y[4].

b = {0,5, 1, 0,25}x[n] = {−2, −2, 3, 1}, n = 0…3
y[4] =
3.Moyen
x(t)t23h(t)t15

Le signal x(t) n’est non nul qu’entre t = 2 s et t = 3 s, et h(t) qu’entre t = 1 s et t = 5 s. Trouvez la durée D de y(t) = x(t) ∗ h(t).

x: 2 … 3 sh: 1 … 5 s
D = s
4.Moyen
x(t)t14h(t)t1

L’impulsion x(t) = 4 pour 0 ≤ t < 1 s (nulle ailleurs) est appliquée à un système de réponse h(t) = e−0,5tu(t). Trouvez la sortie y(2,5) à t = 2,5 s, une fois l’impulsion terminée.

x(t) = 4, 0 ≤ t < 1 sh(t) = e−0,5tu(t)t = 2,5 s
y(2.5) =
5.Difficile
x(t)t (ms)1020401

Un signal carré commute entre 1 et 0 avec la période T = 20 ms (une demi-période à chaque niveau). Trouvez l’amplitude c7 de sa composante de Fourier à 350 Hz.

0 … 1T = 20 msf = 350 Hz
c7 =
6.Difficile
x(t)t (ms)1,2483

Un train d’impulsions a pour hauteur 3, pour largeur d’impulsion 1,2 ms et pour période 4 ms. Trouvez l’amplitude c3 de l’harmonique de rang 3, à 750 Hz.

A = 3τ = 1,2 msT = 4 ms
c3 =

Corrigé

  1. 1. y[3] = 6
  2. 2. y[4] = 1,75
  3. 3. D = 5 s
  4. 4. y(2.5) = 1,487
  5. 5. c7 = 0,09095
  6. 6. c3 = 0,1967

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