Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x[n]n−105152535…h[n]n−10−1112−33−145

Un système de réponse impulsionnelle h[n] = {−1, 1, −3, −1} (n = 0…3) reçoit l’entrée en échelon x[n] = 5·u[n]. Trouvez la sortie y[4].

h[n] = {−1, 1, −3, −1}x[n] = 5·u[n]
y[4] =
2.Facile
x[n]n−101−122344h[n]n−101213−34

La suite x[n] est non nulle pour n = 1…3 et h[n] pour n = 2…3, comme indiqué. Trouvez le dernier indice nlast pour lequel y[n] = x[n] ∗ h[n] peut être non nul.

x[n]: n = 1…3h[n]: n = 2…3
nlast =
3.Moyen
x(t)t22h(t)t1

L’impulsion x(t) = 2 pour 0 ≤ t < 2 s (nulle ailleurs) est appliquée à un système de réponse h(t) = e−5tu(t). Trouvez la sortie y(4) à t = 4 s, une fois l’impulsion terminée.

x(t) = 2, 0 ≤ t < 2 sh(t) = e−5tu(t)t = 4 s
y(4) =
4.Moyen
x(t)t31h(t)t14

L’impulsion x(t) = 1 pour 0 ≤ t < 3 s est convoluée avec h(t), un triangle qui décroît linéairement de 4 à t = 0 jusqu’à 0 à t = 1 s. Trouvez l’aire Ay sous y(t) = x(t) ∗ h(t).

x(t) = 1, 0 ≤ t < 3 sh(0) = 4, h(1) = 0
Ay =
5.Difficile
δ(t)y′ + 2y = 5xh(t)

Un système obéit à y′(t) + 2·y(t) = 5·x(t). Trouvez sa réponse impulsionnelle à t = 0,05 s, h(0,05).

y′ + 2y = 5xt = 0,05 s
h(0.05) =
6.Difficile
5cos(20t)h(t) = 5e−20t​u(t)y(t)

L’entrée x(t) = 5·cos(20t) est appliquée à un système de réponse h(t) = 5·e−20tu(t). Trouvez la phase φ de la sortie en régime permanent par rapport à l’entrée, en degrés.

h(t) = 5e−20tu(t)x(t) = 5cos(20t)
φ = °

Corrigé

  1. 1. y[4] = −20
  2. 2. nlast = 6
  3. 3. y(4) = 1,816 × 10⁻⁵
  4. 4. Ay = 6
  5. 5. h(0.05) = 4,524
  6. 6. φ = −45 °

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