Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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1.Facile
x[n]n−10−1122334h[n]n−10−112234

Les suites x[n] = {−1, 2, 3} et h[n] = {−1, 2} commencent toutes deux en n = 0. Trouvez le plus grand échantillon ymax de y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {−1, 2, 3}, n = 0…2h[n] = {−1, 2}, n = 0…1
ymax =
2.Facile
x[n]n−10−113213−34h[n]n−101232445

La suite x[n] est non nulle pour n = 0…3 et h[n] pour n = 3…4, comme indiqué. Trouvez le dernier indice nlast pour lequel y[n] = x[n] ∗ h[n] peut être non nul.

x[n]: n = 0…3h[n]: n = 3…4
nlast =
3.Moyen
x(t)t22h(t)t32

L’impulsion x(t) = 2 pour 0 ≤ t < 2 s (nulle ailleurs) est appliquée à un système de réponse impulsionnelle h(t) = 2 pour 0 ≤ t < 3 s (nulle ailleurs). Trouvez la sortie y(0,5) à t = 0,5 s.

x(t) = 2, 0 ≤ t < 2 sh(t) = 2, 0 ≤ t < 3 st = 0,5 s
y(0.5) =
4.Moyen
x(t)t10h(t)t21

Un système a pour réponse impulsionnelle h(t) = e−0,5tu(t). L’entrée est un échelon x(t) = 10·u(t). Trouvez la sortie y(2) à t = 2 s.

h(t) = e−0,5tu(t)x(t) = 10·u(t)t = 2 s
y(2) =
5.Difficile
δ[n]0,5+h[n]0,9·z⁻¹+

Un système obéit à y[n] = 0,9·y[n − 1] + 0,5·x[n] et part du repos. Trouvez l’échantillon h[2] de sa réponse impulsionnelle.

y[n] = 0,9y[n − 1] + 0,5x[n]x[n] = δ[n]
h[2] =
6.Difficile
x(t)t (ms)0,8484

Un train d’impulsions a pour hauteur 4, pour largeur d’impulsion 0,8 ms et pour période 4 ms. Trouvez l’amplitude c1 de l’harmonique de rang 1, à 250 Hz.

A = 4τ = 0,8 msT = 4 ms
c1 =

Corrigé

  1. 1. ymax = 6
  2. 2. nlast = 7
  3. 3. y(0.5) = 2
  4. 4. y(2) = 12,64
  5. 5. h[2] = 0,405
  6. 6. c1 = 1,497

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