Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x[n]n−10−1122434h[n]n−10−11−32−334

Les suites x[n] = {−1, 2, 4} et h[n] = {−1, −3, −3} commencent toutes deux en n = 0. Trouvez l’échantillon y[2] de la convolution y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {−1, 2, 4}, n = 0…2h[n] = {−1, −3, −3}, n = 0…2
y[2] =
2.Facile
x[n]n−4−31−22−11021h[n]n−1031−32−13

La suite x[n] est non nulle pour n = -3…0 et h[n] pour n = 0…2, comme indiqué. Trouvez le dernier indice nlast pour lequel y[n] = x[n] ∗ h[n] peut être non nul.

x[n]: n = -3…0h[n]: n = 0…2
nlast =
3.Moyen
x(t)t12h(t)t1

L’impulsion x(t) = 2 pour 0 ≤ t < 1 s (nulle ailleurs) est appliquée à un système de réponse h(t) = e−2tu(t). Trouvez la sortie y(2,5) à t = 2,5 s, une fois l’impulsion terminée.

x(t) = 2, 0 ≤ t < 1 sh(t) = e−2tu(t)t = 2,5 s
y(2.5) =
4.Moyen
x(t)t410h(t)t42

L’impulsion x(t) = 10 pour 0 ≤ t < 4 s est convoluée avec h(t), un triangle qui décroît linéairement de 2 à t = 0 jusqu’à 0 à t = 4 s. Trouvez l’aire Ay sous y(t) = x(t) ∗ h(t).

x(t) = 10, 0 ≤ t < 4 sh(0) = 2, h(4) = 0
Ay =
5.Difficile
10cos(30t)h(t) = 2e−10t​u(t)y(t)

L’entrée x(t) = 10·cos(30t) est appliquée à un système de réponse h(t) = 2·e−10tu(t). Trouvez la phase φ de la sortie en régime permanent par rapport à l’entrée, en degrés.

h(t) = 2e−10tu(t)x(t) = 10cos(30t)
φ = °
6.Difficile
u[n]4+y[n]0,5·z⁻¹+

Un système obéit à y[n] = 0,5·y[n − 1] + 4·x[n] et part du repos. L’entrée est l’échelon unité x[n] = u[n]. Trouvez y[2].

y[n] = 0,5y[n − 1] + 4x[n]x[n] = u[n]
y[2] =

Corrigé

  1. 1. y[2] = −7
  2. 2. nlast = 2
  3. 3. y(2.5) = 0,04305
  4. 4. Ay = 160
  5. 5. φ = −71,57 °
  6. 6. y[2] = 7

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