Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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1.Facile
x[n]n−103132333…h[n]n−102132234

Un système de réponse impulsionnelle h[n] = {2, 3, 2} (n = 0…2) reçoit l’entrée en échelon x[n] = 3·u[n]. Trouvez la sortie y[2].

h[n] = {2, 3, 2}x[n] = 3·u[n]
y[2] =
2.Facile
x[n]n−1031−323324h[n]n−1041−32−234

Les suites x[n] = {3, −3, 3, 2} et h[n] = {4, −3, −2} commencent toutes deux en n = 0. Trouvez l’échantillon y[3] de la convolution y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {3, −3, 3, 2}, n = 0…3h[n] = {4, −3, −2}, n = 0…2
y[3] =
3.Moyen
x(t)t4h(t)t1

L’entrée x(t) = 4·e−3tu(t) est appliquée à un système de réponse h(t) = e−2tu(t). Trouvez la sortie y(1,5) à t = 1,5 s.

x(t) = 4·e−3tu(t)h(t) = e−2tu(t)t = 1,5 s
y(1.5) =
4.Moyen
x(t)t02h(t)t23

Le signal x(t) n’est non nul qu’entre t = 0 s et t = 2 s, et h(t) qu’entre t = 2 s et t = 3 s. Trouvez la durée D de y(t) = x(t) ∗ h(t).

x: 0 … 2 sh: 2 … 3 s
D = s
5.Difficile
u[n]2+y[n]−0,8·z⁻¹+

Un système obéit à y[n] = −0,8·y[n − 1] + 2·x[n] et part du repos. L’entrée est l’échelon unité x[n] = u[n]. Trouvez y[4].

y[n] = −0,8y[n − 1] + 2x[n]x[n] = u[n]
y[4] =
6.Difficile
x(t)t (ms)2485−5

Un signal carré commute entre +5 et −5 avec la période T = 4 ms (une demi-période à chaque niveau). Trouvez l’amplitude c5 de sa composante de Fourier à 1250 Hz.

±5T = 4 msf = 1250 Hz
c5 =

Corrigé

  1. 1. y[2] = 21
  2. 2. y[3] = 5
  3. 3. y(1.5) = 0,1547
  4. 4. D = 3 s
  5. 5. y[4] = 1,475
  6. 6. c5 = 1,273

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