Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x[n]n−10−11−12−334h[n]n−10312234

On effectue la convolution des suites x[n] = {−1, −1, −3} et h[n] = {3, 2}. Trouvez la somme Σy[n] de tous les échantillons de y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {−1, −1, −3}, n = 0…2h[n] = {3, 2}
Σy[n] =
2.Facile
x[n]n−10111243245h[n]n−100,51−12134

Un filtre RIF calcule y[n] = 0,5·x[n] − x[n − 1] + x[n − 2]. L’entrée est x[n] = {1, 1, 4, 2} pour n = 0…3 et nulle ailleurs. Trouvez la sortie y[4].

b = {0,5, −1, 1}x[n] = {1, 1, 4, 2}, n = 0…3
y[4] =
3.Moyen
x(t)t12h(t)t37

Le signal x(t) n’est non nul qu’entre t = 1 s et t = 2 s, et h(t) qu’entre t = 3 s et t = 7 s. Trouvez l’instant tstart où y(t) = x(t) ∗ h(t) commence.

x: 1 … 2 sh: 3 … 7 s
tstart = s
4.Moyen
x(t)t5h(t)t1

L’entrée x(t) = 5·e−5tu(t) est appliquée à un système de réponse h(t) = e−4tu(t). Trouvez la sortie y(1,5) à t = 1,5 s.

x(t) = 5·e−5tu(t)h(t) = e−4tu(t)t = 1,5 s
y(1.5) =
5.Difficile
x(t)t (ms)10204010−10

Un signal triangulaire monte et descend linéairement entre −10 et +10 avec la période T = 20 ms. Trouvez l’amplitude c5 de sa composante de Fourier à 250 Hz.

±10T = 20 msf = 250 Hz
c5 =
6.Difficile
u[n]2+y[n]0,9·z⁻¹+

Un système obéit à y[n] = 0,9·y[n − 1] + 2·x[n] et part du repos. L’entrée est l’échelon unité x[n] = u[n]. Trouvez y[4].

y[n] = 0,9y[n − 1] + 2x[n]x[n] = u[n]
y[4] =

Corrigé

  1. 1. Σy[n] = −25
  2. 2. y[4] = 2
  3. 3. tstart = 4 s
  4. 4. y(1.5) = 0,009628
  5. 5. c5 = 0,3242
  6. 6. y[4] = 8,19

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