Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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1.Facile
x[n]n−10311213345h[n]n−101112−0,534

Un filtre RIF calcule y[n] = x[n] + x[n − 1] − 0,5·x[n − 2]. L’entrée est x[n] = {3, 1, 1, 3} pour n = 0…3 et nulle ailleurs. Trouvez la sortie y[3].

b = {1, 1, −0,5}x[n] = {3, 1, 1, 3}, n = 0…3
y[3] =
2.Facile
x[n]n−4−31−2−3−1−30−31h[n]n−2−1−20−31

La suite x[n] est non nulle pour n = -3…0 et h[n] pour n = -1…0, comme indiqué. Trouvez le premier indice nfirst pour lequel y[n] = x[n] ∗ h[n] peut être non nul.

x[n]: n = -3…0h[n]: n = -1…0
nfirst =
3.Moyen
x(t)t44h(t)t43

L’impulsion x(t) = 4 pour 0 ≤ t < 4 s est convoluée avec h(t), un triangle qui décroît linéairement de 3 à t = 0 jusqu’à 0 à t = 4 s. Trouvez l’aire Ay sous y(t) = x(t) ∗ h(t).

x(t) = 4, 0 ≤ t < 4 sh(0) = 3, h(4) = 0
Ay =
4.Moyen
x(t)t410h(t)t41

L’impulsion x(t) = 10 pour 0 ≤ t < 4 s est convoluée avec l’impulsion h(t) = 1 pour 0 ≤ t < 4 s. Trouvez l’aire Ay sous y(t) = x(t) ∗ h(t).

x(t) = 10, 0 ≤ t < 4 sh(t) = 1, 0 ≤ t < 4 s
Ay =
5.Difficile
x(t)t (ms)0,5121−1

Un signal carré commute entre +1 et −1 avec la période T = 1 ms (une demi-période à chaque niveau). Trouvez l’amplitude c1 de sa composante de Fourier à 1000 Hz.

±1T = 1 msf = 1000 Hz
c1 =
6.Difficile
u[n]0,5+y[n]−0,8·z⁻¹+

Un système obéit à y[n] = −0,8·y[n − 1] + 0,5·x[n] et part du repos. L’entrée est l’échelon unité x[n] = u[n]. Trouvez y[2].

y[n] = −0,8y[n − 1] + 0,5x[n]x[n] = u[n]
y[2] =

Corrigé

  1. 1. y[3] = 3,5
  2. 2. nfirst = −4
  3. 3. Ay = 96
  4. 4. Ay = 160
  5. 5. c1 = 1,273
  6. 6. y[2] = 0,42

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