Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x[n]n−101142134h[n]n−10−3112−134

On effectue la convolution des suites x[n] = {1, 4, 1} et h[n] = {−3, 1, −1}. Trouvez la somme Σy[n] de tous les échantillons de y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {1, 4, 1}, n = 0…2h[n] = {−3, 1, −1}
Σy[n] =
2.Facile
x[n]n−101122−23445h[n]n−100,510,52−0,534

Un filtre RIF calcule y[n] = 0,5·x[n] + 0,5·x[n − 1] − 0,5·x[n − 2]. L’entrée est x[n] = {1, 2, −2, 4} pour n = 0…3 et nulle ailleurs. Trouvez la sortie y[4].

b = {0,5, 0,5, −0,5}x[n] = {1, 2, −2, 4}, n = 0…3
y[4] =
3.Moyen
x(t)t210h(t)t1

L’impulsion x(t) = 10 pour 0 ≤ t < 2 s (nulle ailleurs) est appliquée à un système de réponse h(t) = e−4tu(t). Trouvez la sortie y(3,5) à t = 3,5 s, une fois l’impulsion terminée.

x(t) = 10, 0 ≤ t < 2 sh(t) = e−4tu(t)t = 3,5 s
y(3.5) =
4.Moyen
x(t)t32h(t)t43

L’impulsion x(t) = 2 pour 0 ≤ t < 3 s (nulle ailleurs) est appliquée à un système de réponse impulsionnelle h(t) = 3 pour 0 ≤ t < 4 s (nulle ailleurs). Trouvez la sortie y(2) à t = 2 s.

x(t) = 2, 0 ≤ t < 3 sh(t) = 3, 0 ≤ t < 4 st = 2 s
y(2) =
5.Difficile
x(t)t (ms)2485−5

Un signal carré commute entre +5 et −5 avec la période T = 4 ms (une demi-période à chaque niveau). Trouvez l’amplitude c7 de sa composante de Fourier à 1750 Hz.

±5T = 4 msf = 1750 Hz
c7 =
6.Difficile
δ[n]2+h[n]0,6·z⁻¹+

Un système obéit à y[n] = 0,6·y[n − 1] + 2·x[n] et part du repos. Trouvez l’échantillon h[3] de sa réponse impulsionnelle.

y[n] = 0,6y[n − 1] + 2x[n]x[n] = δ[n]
h[3] =

Corrigé

  1. 1. Σy[n] = −18
  2. 2. y[4] = 3
  3. 3. y(3.5) = 0,006195
  4. 4. y(2) = 12
  5. 5. c7 = 0,9095
  6. 6. h[3] = 0,432

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