Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x[n]n−10412223−34h[n]n−103142234

On effectue la convolution des suites x[n] = {4, 2, 2, −3} et h[n] = {3, 4, 2}. Trouvez la somme Σy[n] de tous les échantillons de y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {4, 2, 2, −3}, n = 0…3h[n] = {3, 4, 2}
Σy[n] =
2.Facile
x[n]n−4−34−23−1−101h[n]n−3−2−2−1−101

La suite x[n] est non nulle pour n = -3…-1 et h[n] pour n = -2…-1, comme indiqué. Trouvez le dernier indice nlast pour lequel y[n] = x[n] ∗ h[n] peut être non nul.

x[n]: n = -3…-1h[n]: n = -2…-1
nlast =
3.Moyen
x(t)t5h(t)t0,51

Un système a pour réponse impulsionnelle h(t) = e−2tu(t). L’entrée est un échelon x(t) = 5·u(t). Trouvez la sortie y(0,2) à t = 0,2 s.

h(t) = e−2tu(t)x(t) = 5·u(t)t = 0,2 s
y(0.2) =
4.Moyen
x(t)t22h(t)t43

L’impulsion x(t) = 2 pour 0 ≤ t < 2 s (nulle ailleurs) est appliquée à un système de réponse impulsionnelle h(t) = 3 pour 0 ≤ t < 4 s (nulle ailleurs). Trouvez la sortie y(2,5) à t = 2,5 s.

x(t) = 2, 0 ≤ t < 2 sh(t) = 3, 0 ≤ t < 4 st = 2,5 s
y(2.5) =
5.Difficile
u[n]0,5+y[n]0,4·z⁻¹+

Un système obéit à y[n] = 0,4·y[n − 1] + 0,5·x[n] et part du repos. L’entrée est l’échelon unité x[n] = u[n]. Trouvez y[4].

y[n] = 0,4y[n − 1] + 0,5x[n]x[n] = u[n]
y[4] =
6.Difficile
δ[n]3+h[n]0,9·z⁻¹+

Un système obéit à y[n] = 0,9·y[n − 1] + 3·x[n] et part du repos. Trouvez l’échantillon h[4] de sa réponse impulsionnelle.

y[n] = 0,9y[n − 1] + 3x[n]x[n] = δ[n]
h[4] =

Corrigé

  1. 1. Σy[n] = 45
  2. 2. nlast = −2
  3. 3. y(0.2) = 0,8242
  4. 4. y(2.5) = 12
  5. 5. y[4] = 0,8248
  6. 6. h[4] = 1,968

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