Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x[n]n−103132333…h[n]n−1041−2233345

Un système de réponse impulsionnelle h[n] = {4, −2, 3, 3} (n = 0…3) reçoit l’entrée en échelon x[n] = 3·u[n]. Trouvez la sortie y[2].

h[n] = {4, −2, 3, 3}x[n] = 3·u[n]
y[2] =
2.Facile
x[n]n−102122−134h[n]n−10−31−22−134

On effectue la convolution des suites x[n] = {2, 2, −1} et h[n] = {−3, −2, −1}. Trouvez la somme Σy[n] de tous les échantillons de y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {2, 2, −1}, n = 0…2h[n] = {−3, −2, −1}
Σy[n] =
3.Moyen
x(t)t21h(t)t12

L’impulsion x(t) = 1 pour 0 ≤ t < 2 s est convoluée avec h(t), un triangle qui décroît linéairement de 2 à t = 0 jusqu’à 0 à t = 1 s. Trouvez l’aire Ay sous y(t) = x(t) ∗ h(t).

x(t) = 1, 0 ≤ t < 2 sh(0) = 2, h(1) = 0
Ay =
4.Moyen
x(t)t23h(t)t42

L’impulsion x(t) = 3 pour 0 ≤ t < 2 s (nulle ailleurs) est appliquée à un système de réponse impulsionnelle h(t) = 2 pour 0 ≤ t < 4 s (nulle ailleurs). Trouvez la sortie y(4,5) à t = 4,5 s.

x(t) = 3, 0 ≤ t < 2 sh(t) = 2, 0 ≤ t < 4 st = 4,5 s
y(4.5) =
5.Difficile
x(t)t (ms)0,5125−5

Un signal carré commute entre +5 et −5 avec la période T = 1 ms (une demi-période à chaque niveau). Trouvez l’amplitude c5 de sa composante de Fourier à 5000 Hz.

±5T = 1 msf = 5000 Hz
c5 =
6.Difficile
5cos(20t)h(t) = 2e−20t​u(t)y(t)

L’entrée x(t) = 5·cos(20t) est appliquée à un système de réponse h(t) = 2·e−20tu(t). Trouvez l’amplitude Ym de la sortie en régime permanent.

h(t) = 2e−20tu(t)x(t) = 5cos(20t)
Ym =

Corrigé

  1. 1. y[2] = 15
  2. 2. Σy[n] = −18
  3. 3. Ay = 2
  4. 4. y(4.5) = 9
  5. 5. c5 = 1,273
  6. 6. Ym = 0,3536

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