Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x[n]n−101112−13345h[n]n−100,510,52−0,534

Un filtre RIF calcule y[n] = 0,5·x[n] + 0,5·x[n − 1] − 0,5·x[n − 2]. L’entrée est x[n] = {1, 1, −1, 3} pour n = 0…3 et nulle ailleurs. Trouvez la sortie y[2].

b = {0,5, 0,5, −0,5}x[n] = {1, 1, −1, 3}, n = 0…3
y[2] =
2.Facile
x[n]n−4−3−1−2−3−1301h[n]n−3−24−1101

La suite x[n] est non nulle pour n = -3…-1 et h[n] pour n = -2…-1, comme indiqué. Trouvez le dernier indice nlast pour lequel y[n] = x[n] ∗ h[n] peut être non nul.

x[n]: n = -3…-1h[n]: n = -2…-1
nlast =
3.Moyen
x(t)t02h(t)t35

Le signal x(t) n’est non nul qu’entre t = 0 s et t = 2 s, et h(t) qu’entre t = 3 s et t = 5 s. Trouvez la durée D de y(t) = x(t) ∗ h(t).

x: 0 … 2 sh: 3 … 5 s
D = s
4.Moyen
x(t)t1h(t)t11

Un système a pour réponse impulsionnelle h(t) = e−1tu(t). L’entrée est un échelon x(t) = 1·u(t). Trouvez la sortie y(2) à t = 2 s.

h(t) = e−1tu(t)x(t) = 1·u(t)t = 2 s
y(2) =
5.Difficile
δ(t)y′ + 2y = 3xh(t)

Un système obéit à y′(t) + 2·y(t) = 3·x(t). Trouvez sa réponse impulsionnelle à t = 0,1 s, h(0,1).

y′ + 2y = 3xt = 0,1 s
h(0.1) =
6.Difficile
x(t)t (ms)1241−1

Un signal triangulaire monte et descend linéairement entre −1 et +1 avec la période T = 2 ms. Trouvez l’amplitude c5 de sa composante de Fourier à 2500 Hz.

±1T = 2 msf = 2500 Hz
c5 =

Corrigé

  1. 1. y[2] = −0,5
  2. 2. nlast = −2
  3. 3. D = 4 s
  4. 4. y(2) = 0,8647
  5. 5. h(0.1) = 2,456
  6. 6. c5 = 0,03242

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