Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x[n]n−103142−13445h[n]n−100,5112−0,534

Un filtre RIF calcule y[n] = 0,5·x[n] + x[n − 1] − 0,5·x[n − 2]. L’entrée est x[n] = {3, 4, −1, 4} pour n = 0…3 et nulle ailleurs. Trouvez la sortie y[2].

b = {0,5, 1, −0,5}x[n] = {3, 4, −1, 4}, n = 0…3
y[2] =
2.Facile
x[n]n−1031−12234h[n]n−10211234

Les suites x[n] = {3, −1, 2} et h[n] = {2, 1} commencent toutes deux en n = 0. Trouvez le plus grand échantillon ymax de y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {3, −1, 2}, n = 0…2h[n] = {2, 1}, n = 0…1
ymax =
3.Moyen
x(t)t10h(t)t0,21

Un système a pour réponse impulsionnelle h(t) = e−5tu(t). L’entrée est un échelon x(t) = 10·u(t). Trouvez la sortie y(0,8) à t = 0,8 s.

h(t) = e−5tu(t)x(t) = 10·u(t)t = 0,8 s
y(0.8) =
4.Moyen
x(t)t13h(t)t21

L’impulsion x(t) = 3 pour 0 ≤ t < 1 s (nulle ailleurs) est appliquée à un système de réponse impulsionnelle h(t) = 1 pour 0 ≤ t < 2 s (nulle ailleurs). Trouvez la sortie y(1,5) à t = 1,5 s.

x(t) = 3, 0 ≤ t < 1 sh(t) = 1, 0 ≤ t < 2 st = 1,5 s
y(1.5) =
5.Difficile
u[n]0,5+y[n]0,9·z⁻¹+

Un système obéit à y[n] = 0,9·y[n − 1] + 0,5·x[n] et part du repos. L’entrée est l’échelon unité x[n] = u[n]. Trouvez y[4].

y[n] = 0,9y[n − 1] + 0,5x[n]x[n] = u[n]
y[4] =
6.Difficile
x(t)t (ms)1241−1

Un signal carré commute entre +1 et −1 avec la période T = 2 ms (une demi-période à chaque niveau). Trouvez l’amplitude c7 de sa composante de Fourier à 3500 Hz.

±1T = 2 msf = 3500 Hz
c7 =

Corrigé

  1. 1. y[2] = 2
  2. 2. ymax = 6
  3. 3. y(0.8) = 1,963
  4. 4. y(1.5) = 3
  5. 5. y[4] = 2,048
  6. 6. c7 = 0,1819

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