Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x[n]n−10−1142−234h[n]n−10412234

Les suites x[n] = {−1, 4, −2} et h[n] = {4, 2} commencent toutes deux en n = 0. Trouvez l’échantillon y[1] de la convolution y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {−1, 4, −2}, n = 0…2h[n] = {4, 2}, n = 0…1
y[1] =
2.Facile
x[n]n−10111223145h[n]n−1021−12−0,534

Un filtre RIF calcule y[n] = 2·x[n] − x[n − 1] − 0,5·x[n − 2]. L’entrée est x[n] = {1, 1, 2, 1} pour n = 0…3 et nulle ailleurs. Trouvez la sortie y[1].

b = {2, −1, −0,5}x[n] = {1, 1, 2, 1}, n = 0…3
y[1] =
3.Moyen
x(t)t14h(t)t42

L’impulsion x(t) = 4 pour 0 ≤ t < 1 s (nulle ailleurs) est appliquée à un système de réponse impulsionnelle h(t) = 2 pour 0 ≤ t < 4 s (nulle ailleurs). Trouvez la sortie y(2) à t = 2 s.

x(t) = 4, 0 ≤ t < 1 sh(t) = 2, 0 ≤ t < 4 st = 2 s
y(2) =
4.Moyen
x(t)t1h(t)t0,51

Un système a pour réponse impulsionnelle h(t) = e−2tu(t). L’entrée est un échelon x(t) = 1·u(t). Trouvez la sortie y(1) à t = 1 s.

h(t) = e−2tu(t)x(t) = 1·u(t)t = 1 s
y(1) =
5.Difficile
10cos(1,5t)h(t) = 10e−2t​u(t)y(t)

L’entrée x(t) = 10·cos(1,5t) est appliquée à un système de réponse h(t) = 10·e−2tu(t). Trouvez l’amplitude Ym de la sortie en régime permanent.

h(t) = 10e−2tu(t)x(t) = 10cos(1,5t)
Ym =
6.Difficile
x(t)t (ms)0,5125

Un signal carré commute entre 5 et 0 avec la période T = 1 ms (une demi-période à chaque niveau). Trouvez l’amplitude c5 de sa composante de Fourier à 5000 Hz.

0 … 5T = 1 msf = 5000 Hz
c5 =

Corrigé

  1. 1. y[1] = 14
  2. 2. y[1] = 1
  3. 3. y(2) = 8
  4. 4. y(1) = 0,4323
  5. 5. Ym = 40
  6. 6. c5 = 0,6366

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