Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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1.Facile
x[n]n−1021−32334h[n]n−10312234

Les suites x[n] = {2, −3, 3} et h[n] = {3, 2} commencent toutes deux en n = 0. Trouvez le plus grand échantillon ymax de y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {2, −3, 3}, n = 0…2h[n] = {3, 2}, n = 0…1
ymax =
2.Facile
x[n]n−10212233h[n]n−1012−3334

La suite x[n] est non nulle pour n = 0…2 et h[n] pour n = 2…3, comme indiqué. Trouvez le premier indice nfirst pour lequel y[n] = x[n] ∗ h[n] peut être non nul.

x[n]: n = 0…2h[n]: n = 2…3
nfirst =
3.Moyen
x(t)t13h(t)t41

L’impulsion x(t) = 3 pour 0 ≤ t < 1 s (nulle ailleurs) est appliquée à un système de réponse impulsionnelle h(t) = 1 pour 0 ≤ t < 4 s (nulle ailleurs). Trouvez la sortie y(1,5) à t = 1,5 s.

x(t) = 3, 0 ≤ t < 1 sh(t) = 1, 0 ≤ t < 4 st = 1,5 s
y(1.5) =
4.Moyen
x(t)t11h(t)t45

L’impulsion x(t) = 1 pour 0 ≤ t < 1 s (nulle ailleurs) est appliquée à un système de réponse impulsionnelle h(t) = 5 pour 0 ≤ t < 4 s (nulle ailleurs). Trouvez la sortie y(0,5) à t = 0,5 s.

x(t) = 1, 0 ≤ t < 1 sh(t) = 5, 0 ≤ t < 4 st = 0,5 s
y(0.5) =
5.Difficile
10cos(3t)h(t) = 5e−2t​u(t)y(t)

L’entrée x(t) = 10·cos(3t) est appliquée à un système de réponse h(t) = 5·e−2tu(t). Trouvez la phase φ de la sortie en régime permanent par rapport à l’entrée, en degrés.

h(t) = 5e−2tu(t)x(t) = 10cos(3t)
φ = °
6.Difficile
u[n]2+y[n]−0,5·z⁻¹+

Un système obéit à y[n] = −0,5·y[n − 1] + 2·x[n] et part du repos. L’entrée est l’échelon unité x[n] = u[n]. Trouvez y[5].

y[n] = −0,5y[n − 1] + 2x[n]x[n] = u[n]
y[5] =

Corrigé

  1. 1. ymax = 6
  2. 2. nfirst = 2
  3. 3. y(1.5) = 3
  4. 4. y(0.5) = 2,5
  5. 5. φ = −56,31 °
  6. 6. y[5] = 1,313

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