Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x[n]n−10−11−22−3334h[n]n−104112−234

Les suites x[n] = {−1, −2, −3, 3} et h[n] = {4, 1, −2} commencent toutes deux en n = 0. Trouvez l’échantillon y[3] de la convolution y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {−1, −2, −3, 3}, n = 0…3h[n] = {4, 1, −2}, n = 0…2
y[3] =
2.Facile
x[n]n−4−34−2−1−1401h[n]n−101112

La suite x[n] est non nulle pour n = -3…-1 et h[n] pour n = 0…1, comme indiqué. Trouvez le premier indice nfirst pour lequel y[n] = x[n] ∗ h[n] peut être non nul.

x[n]: n = -3…-1h[n]: n = 0…1
nfirst =
3.Moyen
x(t)t10h(t)t0,51

Un système a pour réponse impulsionnelle h(t) = e−2tu(t). L’entrée est un échelon x(t) = 10·u(t). Trouvez la sortie y(1) à t = 1 s.

h(t) = e−2tu(t)x(t) = 10·u(t)t = 1 s
y(1) =
4.Moyen
x(t)t24h(t)t1

L’impulsion x(t) = 4 pour 0 ≤ t < 2 s (nulle ailleurs) est appliquée à un système de réponse h(t) = e−1tu(t). Trouvez la sortie y(3) à t = 3 s, une fois l’impulsion terminée.

x(t) = 4, 0 ≤ t < 2 sh(t) = e−1tu(t)t = 3 s
y(3) =
5.Difficile
x(t)t (ms)0,5125−5

Un signal carré commute entre +5 et −5 avec la période T = 1 ms (une demi-période à chaque niveau). Trouvez l’amplitude c5 de sa composante de Fourier à 5000 Hz.

±5T = 1 msf = 5000 Hz
c5 =
6.Difficile
u[n]4+y[n]0,8·z⁻¹+

Un système obéit à y[n] = 0,8·y[n − 1] + 4·x[n] et part du repos. L’entrée est l’échelon unité x[n] = u[n]. Trouvez y[4].

y[n] = 0,8y[n − 1] + 4x[n]x[n] = u[n]
y[4] =

Corrigé

  1. 1. y[3] = 13
  2. 2. nfirst = −3
  3. 3. y(1) = 4,323
  4. 4. y(3) = 1,272
  5. 5. c5 = 1,273
  6. 6. y[4] = 13,45

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