Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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Nom: ____________________ Date: ____________

1.Facile

On effectue la convolution des suites x[n] = {−2, −1, 4, 1} et h[n] = {2, 4, −2}. Trouvez la somme Σy[n] de tous les échantillons de y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {−2, −1, 4, 1}, n = 0…3h[n] = {2, 4, −2}

Σy[n] =

2.Facile

Un système de réponse impulsionnelle h[n] = {1, −1, 2} (n = 0…2) reçoit l’entrée en échelon x[n] = 5·u[n]. Trouvez la sortie y[2].

h[n] = {1, −1, 2}x[n] = 5·u[n]

y[2] =

3.Moyen

L’impulsion x(t) = 1 pour 0 ≤ t < 2 s (nulle ailleurs) est appliquée à un système de réponse h(t) = e^−0,5tu(t). Trouvez la sortie y(3,5) à t = 3,5 s, une fois l’impulsion terminée.

x(t) = 1, 0 ≤ t < 2 sh(t) = e^−0,5tu(t)t = 3,5 s

y(3.5) =

4.Moyen

L’entrée x(t) = 4·e^−4tu(t) est appliquée à un système de réponse h(t) = e^−1tu(t). Trouvez la sortie y(2) à t = 2 s.

x(t) = 4·e^−4tu(t)h(t) = e^−1tu(t)t = 2 s

y(2) =

5.Difficile

Un signal carré commute entre +5 et −5 avec la période T = 10 ms (une demi-période à chaque niveau). Trouvez l’amplitude c₅ de sa composante de Fourier à 500 Hz.

±5T = 10 msf = 500 Hz

c₅ =

6.Difficile

Un système obéit à y′(t) + 10·y(t) = 2·x(t). Trouvez sa réponse impulsionnelle à t = 0,5 s, h(0,5).

y′ + 10y = 2xt = 0,5 s

h(0.5) =

Corrigé

1. Σy[n] = 8
2. y[2] = 10
3. y(3.5) = 0,5972
4. y(2) = 0,18
5. c₅ = 1,273
6. h(0.5) = 0,01348

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