Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x[n]n−10−1132−134h[n]n−10−21−1234

Les suites x[n] = {−1, 3, −1} et h[n] = {−2, −1} commencent toutes deux en n = 0. Trouvez l’échantillon y[2] de la convolution y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {−1, 3, −1}, n = 0…2h[n] = {−2, −1}, n = 0…1
y[2] =
2.Facile
x[n]n−102122232…h[n]n−1011−22134

Un système de réponse impulsionnelle h[n] = {1, −2, 1} (n = 0…2) reçoit l’entrée en échelon x[n] = 2·u[n]. Trouvez la sortie y[1].

h[n] = {1, −2, 1}x[n] = 2·u[n]
y[1] =
3.Moyen
x(t)t−21h(t)t04

Le signal x(t) n’est non nul qu’entre t = −2 s et t = 1 s, et h(t) qu’entre t = 0 s et t = 4 s. Trouvez la durée D de y(t) = x(t) ∗ h(t).

x: −2 … 1 sh: 0 … 4 s
D = s
4.Moyen
x(t)t5h(t)t1

L’entrée x(t) = 5·e−6tu(t) est appliquée à un système de réponse h(t) = e−5tu(t). Trouvez la sortie y(0,25) à t = 0,25 s.

x(t) = 5·e−6tu(t)h(t) = e−5tu(t)t = 0,25 s
y(0.25) =
5.Difficile
δ(t)y′ + 2y = 2xh(t)

Un système obéit à y′(t) + 2·y(t) = 2·x(t). Trouvez sa réponse impulsionnelle à t = 0,5 s, h(0,5).

y′ + 2y = 2xt = 0,5 s
h(0.5) =
6.Difficile
x(t)t (ms)2,551010−10

Un signal carré commute entre +10 et −10 avec la période T = 5 ms (une demi-période à chaque niveau). Trouvez l’amplitude c5 de sa composante de Fourier à 1000 Hz.

±10T = 5 msf = 1000 Hz
c5 =

Corrigé

  1. 1. y[2] = −1
  2. 2. y[1] = −2
  3. 3. D = 7 s
  4. 4. y(0.25) = 0,3169
  5. 5. h(0.5) = 0,7358
  6. 6. c5 = 2,546

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