Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x[n]n−102122134h[n]n−10−214234

On effectue la convolution des suites x[n] = {2, 2, 1} et h[n] = {−2, 4}. Trouvez la somme Σy[n] de tous les échantillons de y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {2, 2, 1}, n = 0…2h[n] = {−2, 4}
Σy[n] =
2.Facile
x[n]n−101213−34−25−26h[n]n−2−1402142

La suite x[n] est non nulle pour n = 2…5 et h[n] pour n = -1…1, comme indiqué. Trouvez le premier indice nfirst pour lequel y[n] = x[n] ∗ h[n] peut être non nul.

x[n]: n = 2…5h[n]: n = -1…1
nfirst =
3.Moyen
x(t)t1h(t)t0,21

Un système a pour réponse impulsionnelle h(t) = e−5tu(t). L’entrée est un échelon x(t) = 1·u(t). Trouvez la sortie y(0,4) à t = 0,4 s.

h(t) = e−5tu(t)x(t) = 1·u(t)t = 0,4 s
y(0.4) =
4.Moyen
x(t)t10h(t)t21

Un système a pour réponse impulsionnelle h(t) = e−0,5tu(t). L’entrée est un échelon x(t) = 10·u(t). Trouvez la sortie y(4) à t = 4 s.

h(t) = e−0,5tu(t)x(t) = 10·u(t)t = 4 s
y(4) =
5.Difficile
x(t)t (ms)2,55102−2

Un signal carré commute entre +2 et −2 avec la période T = 5 ms (une demi-période à chaque niveau). Trouvez l’amplitude c7 de sa composante de Fourier à 1400 Hz.

±2T = 5 msf = 1400 Hz
c7 =
6.Difficile
δ(t)y′ + 5y = 5xh(t)

Un système obéit à y′(t) + 5·y(t) = 5·x(t). Trouvez sa réponse impulsionnelle à t = 0,2 s, h(0,2).

y′ + 5y = 5xt = 0,2 s
h(0.2) =

Corrigé

  1. 1. Σy[n] = 10
  2. 2. nfirst = 1
  3. 3. y(0.4) = 0,1729
  4. 4. y(4) = 17,29
  5. 5. c7 = 0,3638
  6. 6. h(0.2) = 1,839

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