Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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1.Facile
x[n]n−102112−234h[n]n−10−31−3234

Les suites x[n] = {2, 1, −2} et h[n] = {−3, −3} commencent toutes deux en n = 0. Trouvez l’échantillon y[1] de la convolution y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {2, 1, −2}, n = 0…2h[n] = {−3, −3}, n = 0…1
y[1] =
2.Facile
x[n]n−10123444526h[n]n−101213−34

La suite x[n] est non nulle pour n = 3…5 et h[n] pour n = 2…3, comme indiqué. Trouvez le dernier indice nlast pour lequel y[n] = x[n] ∗ h[n] peut être non nul.

x[n]: n = 3…5h[n]: n = 2…3
nlast =
3.Moyen
x(t)t210h(t)t43

L’impulsion x(t) = 10 pour 0 ≤ t < 2 s est convoluée avec h(t), un triangle qui décroît linéairement de 3 à t = 0 jusqu’à 0 à t = 4 s. Trouvez l’aire Ay sous y(t) = x(t) ∗ h(t).

x(t) = 10, 0 ≤ t < 2 sh(0) = 3, h(4) = 0
Ay =
4.Moyen
x(t)t−2−1h(t)t37

Le signal x(t) n’est non nul qu’entre t = −2 s et t = −1 s, et h(t) qu’entre t = 3 s et t = 7 s. Trouvez l’instant tend où y(t) = x(t) ∗ h(t) se termine.

x: −2 … −1 sh: 3 … 7 s
tend = s
5.Difficile
x(t)t (ms)1485

Un train d’impulsions a pour hauteur 5, pour largeur d’impulsion 1 ms et pour période 4 ms. Trouvez l’amplitude c3 de l’harmonique de rang 3, à 750 Hz.

A = 5τ = 1 msT = 4 ms
c3 =
6.Difficile
u[n]4+y[n]0,6·z⁻¹+

Un système obéit à y[n] = 0,6·y[n − 1] + 4·x[n] et part du repos. L’entrée est l’échelon unité x[n] = u[n]. Trouvez y[2].

y[n] = 0,6y[n − 1] + 4x[n]x[n] = u[n]
y[2] =

Corrigé

  1. 1. y[1] = −9
  2. 2. nlast = 8
  3. 3. Ay = 120
  4. 4. tend = 6 s
  5. 5. c3 = 0,7503
  6. 6. y[2] = 7,84

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