Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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1.Facile
x[n]n−10−2142−234h[n]n−10114234

Les suites x[n] = {−2, 4, −2} et h[n] = {1, 4} commencent toutes deux en n = 0. Trouvez le plus grand échantillon ymax de y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {−2, 4, −2}, n = 0…2h[n] = {1, 4}, n = 0…1
ymax =
2.Facile
x[n]n−10−3112134h[n]n−10413234

On effectue la convolution des suites x[n] = {−3, 1, 1} et h[n] = {4, 3}. Trouvez la somme Σy[n] de tous les échantillons de y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {−3, 1, 1}, n = 0…2h[n] = {4, 3}
Σy[n] =
3.Moyen
x(t)t0,510h(t)t1

L’impulsion x(t) = 10 pour 0 ≤ t < 0.5 s (nulle ailleurs) est appliquée à un système de réponse h(t) = e−2tu(t). Trouvez la sortie y(1) à t = 1 s, une fois l’impulsion terminée.

x(t) = 10, 0 ≤ t < 0.5 sh(t) = e−2tu(t)t = 1 s
y(1) =
4.Moyen
x(t)t2h(t)t21

Un système a pour réponse impulsionnelle h(t) = e−0,5tu(t). L’entrée est un échelon x(t) = 2·u(t). Trouvez la sortie y(2) à t = 2 s.

h(t) = e−0,5tu(t)x(t) = 2·u(t)t = 2 s
y(2) =
5.Difficile
2cos(5t)h(t) = 10e−5t​u(t)y(t)

L’entrée x(t) = 2·cos(5t) est appliquée à un système de réponse h(t) = 10·e−5tu(t). Trouvez la phase φ de la sortie en régime permanent par rapport à l’entrée, en degrés.

h(t) = 10e−5tu(t)x(t) = 2cos(5t)
φ = °
6.Difficile
x(t)t (ms)1,6483

Un train d’impulsions a pour hauteur 3, pour largeur d’impulsion 1,6 ms et pour période 4 ms. Trouvez l’amplitude c1 de l’harmonique de rang 1, à 250 Hz.

A = 3τ = 1,6 msT = 4 ms
c1 =

Corrigé

  1. 1. ymax = 14
  2. 2. Σy[n] = −7
  3. 3. y(1) = 1,163
  4. 4. y(2) = 2,528
  5. 5. φ = −45 °
  6. 6. c1 = 1,816

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