Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x[n]n−10211243245h[n]n−100,510,2520,534

Un filtre RIF calcule y[n] = 0,5·x[n] + 0,25·x[n − 1] + 0,5·x[n − 2]. L’entrée est x[n] = {2, 1, 4, 2} pour n = 0…3 et nulle ailleurs. Trouvez la sortie y[1].

b = {0,5, 0,25, 0,5}x[n] = {2, 1, 4, 2}, n = 0…3
y[1] =
2.Facile
x[n]n−10−2112−134h[n]n−10312234

Les suites x[n] = {−2, 1, −1} et h[n] = {3, 2} commencent toutes deux en n = 0. Trouvez l’échantillon y[1] de la convolution y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {−2, 1, −1}, n = 0…2h[n] = {3, 2}, n = 0…1
y[1] =
3.Moyen
x(t)t−10h(t)t15

Le signal x(t) n’est non nul qu’entre t = −1 s et t = 0 s, et h(t) qu’entre t = 1 s et t = 5 s. Trouvez l’instant tend où y(t) = x(t) ∗ h(t) se termine.

x: −1 … 0 sh: 1 … 5 s
tend = s
4.Moyen
x(t)t410h(t)t21

L’impulsion x(t) = 10 pour 0 ≤ t < 4 s est convoluée avec h(t), un triangle qui décroît linéairement de 1 à t = 0 jusqu’à 0 à t = 2 s. Trouvez l’aire Ay sous y(t) = x(t) ∗ h(t).

x(t) = 10, 0 ≤ t < 4 sh(0) = 1, h(2) = 0
Ay =
5.Difficile
δ(t)y′ + 5y = 3xh(t)

Un système obéit à y′(t) + 5·y(t) = 3·x(t). Trouvez sa réponse impulsionnelle à t = 0,1 s, h(0,1).

y′ + 5y = 3xt = 0,1 s
h(0.1) =
6.Difficile
x(t)t (ms)0,51210−10

Un signal triangulaire monte et descend linéairement entre −10 et +10 avec la période T = 1 ms. Trouvez l’amplitude c5 de sa composante de Fourier à 5000 Hz.

±10T = 1 msf = 5000 Hz
c5 =

Corrigé

  1. 1. y[1] = 1
  2. 2. y[1] = −1
  3. 3. tend = 5 s
  4. 4. Ay = 40
  5. 5. h(0.1) = 1,82
  6. 6. c5 = 0,3242

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