Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x[n]n−1021−22−134h[n]n−10−3112234

Les suites x[n] = {2, −2, −1} et h[n] = {−3, 1, 2} commencent toutes deux en n = 0. Trouvez le plus grand échantillon ymax de y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {2, −2, −1}, n = 0…2h[n] = {−3, 1, 2}, n = 0…2
ymax =
2.Facile
x[n]n−10−11−22−23−24h[n]n−10−11−2234

On effectue la convolution des suites x[n] = {−1, −2, −2, −2} et h[n] = {−1, −2}. Trouvez la somme Σy[n] de tous les échantillons de y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {−1, −2, −2, −2}, n = 0…3h[n] = {−1, −2}
Σy[n] =
3.Moyen
x(t)t−21h(t)t−10

Le signal x(t) n’est non nul qu’entre t = −2 s et t = 1 s, et h(t) qu’entre t = −1 s et t = 0 s. Trouvez l’instant tstart où y(t) = x(t) ∗ h(t) commence.

x: −2 … 1 sh: −1 … 0 s
tstart = s
4.Moyen
x(t)t22h(t)t45

L’impulsion x(t) = 2 pour 0 ≤ t < 2 s (nulle ailleurs) est appliquée à un système de réponse impulsionnelle h(t) = 5 pour 0 ≤ t < 4 s (nulle ailleurs). Trouvez la sortie y(0,5) à t = 0,5 s.

x(t) = 2, 0 ≤ t < 2 sh(t) = 5, 0 ≤ t < 4 st = 0,5 s
y(0.5) =
5.Difficile
x(t)t (ms)5102010−10

Un signal triangulaire monte et descend linéairement entre −10 et +10 avec la période T = 10 ms. Trouvez l’amplitude c1 de sa composante de Fourier à 100 Hz.

±10T = 10 msf = 100 Hz
c1 =
6.Difficile
u[n]4+y[n]0,5·z⁻¹+

Un système obéit à y[n] = 0,5·y[n − 1] + 4·x[n] et part du repos. L’entrée est l’échelon unité x[n] = u[n]. Trouvez y[2].

y[n] = 0,5y[n − 1] + 4x[n]x[n] = u[n]
y[2] =

Corrigé

  1. 1. ymax = 8
  2. 2. Σy[n] = 21
  3. 3. tstart = −3 s
  4. 4. y(0.5) = 5
  5. 5. c1 = 8,106
  6. 6. y[2] = 7

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