Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x[n]n−10123141546−27h[n]n−10142−23

La suite x[n] est non nulle pour n = 3…6 et h[n] pour n = 1…2, comme indiqué. Trouvez le premier indice nfirst pour lequel y[n] = x[n] ∗ h[n] peut être non nul.

x[n]: n = 3…6h[n]: n = 1…2
nfirst =
2.Facile
x[n]n−1021−32134h[n]n−10−31−2234

Les suites x[n] = {2, −3, 1} et h[n] = {−3, −2} commencent toutes deux en n = 0. Trouvez l’échantillon y[1] de la convolution y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {2, −3, 1}, n = 0…2h[n] = {−3, −2}, n = 0…1
y[1] =
3.Moyen
x(t)t5h(t)t0,21

Un système a pour réponse impulsionnelle h(t) = e−5tu(t). L’entrée est un échelon x(t) = 5·u(t). Trouvez la sortie y(1,2) à t = 1,2 s.

h(t) = e−5tu(t)x(t) = 5·u(t)t = 1,2 s
y(1.2) =
4.Moyen
x(t)t110h(t)t1

L’impulsion x(t) = 10 pour 0 ≤ t < 1 s (nulle ailleurs) est appliquée à un système de réponse h(t) = e−5tu(t). Trouvez la sortie y(1,5) à t = 1,5 s, une fois l’impulsion terminée.

x(t) = 10, 0 ≤ t < 1 sh(t) = e−5tu(t)t = 1,5 s
y(1.5) =
5.Difficile
x(t)t (ms)5102010−10

Un signal carré commute entre +10 et −10 avec la période T = 10 ms (une demi-période à chaque niveau). Trouvez l’amplitude c5 de sa composante de Fourier à 500 Hz.

±10T = 10 msf = 500 Hz
c5 =
6.Difficile
5cos(2t)h(t) = 10e−2t​u(t)y(t)

L’entrée x(t) = 5·cos(2t) est appliquée à un système de réponse h(t) = 10·e−2tu(t). Trouvez l’amplitude Ym de la sortie en régime permanent.

h(t) = 10e−2tu(t)x(t) = 5cos(2t)
Ym =

Corrigé

  1. 1. nfirst = 4
  2. 2. y[1] = 5
  3. 3. y(1.2) = 0,9975
  4. 4. y(1.5) = 0,1631
  5. 5. c5 = 2,546
  6. 6. Ym = 17,68

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